[논문 리뷰] Hermite-Hadamard-Fejer type inequalities for convex functions via fractional integrals

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 29.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 12인용 수 67

한 줄 요약

이 논문은 리만-리우빌 분수적 적분을 사용하여 볼록 함수에 대한 헤르마이트-하다마르드-페지에르 유형 부등식을 수립한다. 고전적 부등식을 분수적 해석학으로 확장하며, 대칭 가중 함수를 포함하는 새로운 적분 항등식과 경계를 유도한다. 헬더 부등식과 볼록성 성질을 이용하여 명시적인 추정을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, firstly we have established Hermite--Hadamard-Fejér inequality for fractional integrals. Secondly, an integral identity and some Hermite-Hadamard-Fejer type integral inequalities for the fractional integrals have been obtained. The some results presented here would provide extensions of those given in earlier works.

연구 동기 및 목표

• 리만-리우빌 연산자를 사용하여 고전적 헤르마이트-하다마르드-페지에르 부등식을 분수적 적분 형태로 확장한다.
• 대칭 가중 함수를 갖는 볼록 함수에 대한 분수적 적분을 포함하는 새로운 적분 항등식을 수립한다.
• 가중 분수적 적분 평균과 중점/끝점 값 간의 이탈에 대한 날카운 상한 경계를 유도한다.
• 가능한 적분 가능하고 대칭적인 가중 함수를 통합하여 기존의 분수적 헤르마이트-하다마르드 부등식을 일반화한다.
• 도함수의 절대값의 볼록성과 헬더 부등식을 이용한 정량적 추정을 제공한다.

제안 방법

• 리만-리우빌 정의와 변수 치환을 사용하여 분수적 적분 항등식을 유도함으로써, 가중 평균과 함수 값 간의 차이를 표현한다.
• 함수의 도함수와 가중 함수를 포함하는 적분 표현을 bound하기 위해 헬더 부등식을 적용한다.
• 가중 함수 $ g $ 가 $ (a+b)/2 $ 에 대해 대칭임을 이용하여 $ J_{a+}^{ u}g(b) $ 와 $ J_{b-}^{ u}g(a) $ 를 포함하는 표현을 단순화한다.
• 볼록성 조건 $ |f'|^q $ 과 부등식 $ (A-B)^q \leq A^q - B^q $ ($ A \geq B \geq 0 $, $ q \geq 1 $) 을 사용하여 유도된 적분을 bound한다.
• 대체 치환 $ t \in [0,1] $ 을 통해 $[a, b]$ 에서의 적분을 표준 형태로 변환하여 베타 함수 항등식을 이용해 평가한다.
• 최종 추정에서 가중 함수의 노름을 제어하기 위해 $ |a^\alpha - b^\alpha| \leq (b-a)^\alpha $ ($ 0 < \alpha \leq 1 $) 를 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록 함수와 대칭 가중치를 사용하여 헤르마이트-하다마르드-페지에르 부등식을 어떻게 분수적 적분으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 분수적 적분 평균과 함수의 도함수 및 대칭 가중 함수를 연결하는 새로운 적분 항등식은 무엇인가?
• RQ3 분수적 적분 평균이 중점 및 끝점 값으로부터 얼마나 이탈할 수 있는지에 대한 날카운 상한 경계는 무엇인가?
• RQ4 헬더 부등식과 $ |f'|^q $ 의 볼록성은 분수적 페지에르 유형 부등식의 추정을 어떻게 개선하는가?
• RQ5 $ \alpha = 1 $ 일 때 경계는 어떻게 되며, 문헌에 알려진 결과와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 분수적 헤르마이트-하다마르드-페지에르 부등식을 증명한다: $ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] \leq \left[J_{a+}^{\alpha}(fg)(b) + J_{b-}^{\alpha}(fg)(a)\right] \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] $ ($ \alpha > 0 $).
• 미분 가능하고 $ |f'|^q $ 가 볼록이며 $ g $ 가 대칭적이고 연속적인 경우, 다음 경계가 성립한다: $ \left| \left(\frac{f(a)+f(b)}{2}\right) \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] - \left[J_{a+}^{\alpha}(fg)(b) + J_{b-}^{\alpha}(fg)(a)\right] \right| \leq \frac{2^{1/p}\|g\|_{\infty}(b-a)^{\alpha+1}}{(α p+1)^{1/p}\Gamma(\alpha+1)} \left(1 - \frac{1}{2^{\alpha p}}\right)^{1/p} \left(\frac{|f'(a)|^q + |f'(b)|^q}{2}\right)^{1/q} $ ($ \alpha > 0 $, $ q > 1 $, $ 1/p + 1/q = 1 $).
• 다른 경계도 도출되었으며, $ 0 < \alpha \leq 1 $ 에 대해 $ \leq \frac{\|g\|_{\infty}(b-a)^{\alpha+1}}{(α p+1)^{1/p}\Gamma(\alpha+1)} \left(\frac{|f'(a)|^q + |f'(b)|^q}{2}\right)^{1/q} $ 이다.
• 경계는 $ \alpha = 1 $ 일 때 기존 결과로 축소됨을 보여, 이는 [17, 보조정리 13] 을 복원한다.
• 레마 4 의 적분 항등식은 이탈을 $ \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^b \left| \int_t^{a+b-t} (b-s)^{\alpha-1} g(s) ds \right| |f'(t)| dt $ 로 표현하며, 이는 헬더 부등식의 적용을 가능하게 한다.
• 부등식 $ (A-B)^q \leq A^q - B^q $ ($ A \geq B \geq 0 $, $ q \geq 1 $) 의 사용은 적분 내의 커널 항목을 점별적으로 지배할 수 있게 한다.