[논문 리뷰] Hermite-Hadamard's inequalities for preinvex functions via fractional integrals and related fractional inequalities

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 01.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 리만-리우빌 분수적 적분을 사용하여 프리인바렉스 함수에 대한 헤르마이트-하다마르드 유형 부등식을 수립하며, 고전적 결과를 더 넓은 함수 클래스로 확장한다. 함수의 끝점에서의 평균값과 분수적 적분 평균 사이의 편차에 대해 날카운 경계를 도출하며, 헬더 부등식과 프리인바렉스성 특성을 활용한다. 주요 결과는 분수적 순서 α와 쌍대 지수 q를 포함한다.

ABSTRACT

In this paper, first we have established Hermite- Hadamard's inequalities for preinvex functions via fractional integrals. Second we extend some estimates of the right side of a Hermite- Hadamard type inequality for preinvex functions via fractional integrals.

연구 동기 및 목표

• 분수적 미적분을 사용하여 볼록 함수에 대한 고전적 헤르마이트-하다마르드 부등식을 프리인바렉스 함수의 설정으로 일반화하는 것.
• 프리인바렉스 함수에 대한 리만-리우빌 적분을 포함하는 새로운 분수적 적분 부등식을 수립하는 것.
• 끝점에서 함수 값의 평균과 분수적 적분 평균 사이의 차이에 대한 추정을 개선하는 것.
• 이전의 볼록 함수 결과(예: 사리카야 등에 의한 결과)를 더 일반적인 프리인바렉스 함수의 클래스로 확장하는 것.
• 함수 η와 조건 C가 프리인바렉스성 가정 하에 날카운 경계를 도출하는 데 수행하는 역할을 조사하는 것.

제안 방법

• 끝점에서의 f(a)와 f(b)의 평균과 분수적 적분 평균 사이의 차이를 연결하는 분수적 적분 항등식(보조정리 1)을 도입한다.
• 분수적 적분 항등식의 도함수 항의 L1-노름을 bound하기 위해 헬더 부등식을 적용한다.
• t ∈ [0,1]에 대해 |f′(a + tη(b,a))|^q ≤ (1−t)|f′(a)|^q + t|f′(b)|^q 라는 프리인바렉스 조건을 사용하여 도함수 항을 지배한다.
• 구간 [0,1]에서 커널 |t^α − (1−t)^α|의 대칭성을 활용하여 α와 2^α를 포함하는 적분을 계산한다.
• Γ(α+1), η(b,a), 그리고 끝점에서 도함수의 Lq-노름을 바탕으로 경계를 유도한다.
• 최적화를 위해 쌍대 지수 관계 1/p + 1/q = 1을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수적 적분을 사용하여 헤르마이트-하다마르드 부등식을 볼록 함수에서 프리인바렉스 함수로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 프리인바렉스성 조건 하에서, f(a)와 f(b)의 평균과 분수적 적분 평균 사이의 차이에 대한 날카운 경계는 무엇인가?
• RQ3 η의 선택이 프리인바렉스 함수에 대한 분수적 적분 부등식에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 분수적 적분 공식에서 매개변수 α의 역할은 무엇이며, 이를 통해 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 고전적 부등식 (1.2)는 새로운 분수적 프리인바렉스 부등식의 특수한 경우로 복구될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 리만-리우빌 분수적 적분을 통한 프리인바렉스 함수에 대한 새로운 헤르마이트-하다마르드 유형 부등식을 수립하며, 고전적 결과를 일반화한다.
• α > 0 및 q > 1일 때, |(f(a) + f(a+η(b,a)))/2 − Γ(α+1)/(2η^α(b,a)) [J_{a+}^α f(a+η(b,a)) + J_{(a+η(b,a))−}^α f(a)]| ≤ η(b,a)/(α+1) (1 − 1/2^α) [(|f′(a)|^q + |f′(b)|^q)/2]^{1/q} 는 |f′|^q 가 프리인바렉스일 경우 성립한다.
• η(b,a) = b−a 및 α = 1일 때 경계는 고전적 부등식 (1.2)로 축소되며, 이는 이전 연구와의 일관성을 확인한다.
• 프리인바렉스성 가정과 η가 조건 C를 만족한다는 조건 하에서 결과는 날카롭게 유지된다. 이는 비볼록성의 구조가 유지됨을 보장한다.
• 쌍대 지수 p와 q를 사용한 헬더 부등식의 적용은 간단한 L1 또는 L∞ 경계보다 더 날카로운 추정을 제공한다.
• 유도된 부등식은 임의의 α > 0에 대해 유효하며, η-연결된 집합에서 비볼록이지만 프리인바렉스인 함수에 대한 헤르마이트-하다마르드 유형 추정의 적용 가능성을 확장한다.