[논문 리뷰] Hermite-Hadamard type inequalities for functions whose derivatives are (α,m)-convex

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 07.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 5인용 수 37

한 줄 요약

이 논문은 적분 항등식과 헬더 부등식을 사용하여, 절대값의 도함수가 (α,m)-볼록인 함수에 대한 새로운 힐베르트-하다마르드 유형 부등식을 수립한다. 주요 기여는 구간 끝점에서 함수 값의 평균과 적분 평균 사이의 편차에 대한 날카운 bound를 |f′|q와 매개변수 α, m, q로 표현한 것이다. 이는 양의 실수의 특수 평균에 응용된다.

ABSTRACT

In this paper several inequalities of the right-hand side of Hermite-Hadamard inequality are obtained for the class of functions whose derivatives in absolutely value at certain powers are (α,m)-convex.Some applications to special means of positive real numbers are also given.

연구 동기 및 목표

• 절대값에서 (α,m)-볼록인 도함수를 가진 함수에 대해 힐베르트-하다마르드 유형 부등식을 확장하는 것.
• 기존 볼록성에 비해 더 날카운 오차 bound를 이러한 함수의 적분 평균에 대해 유도하는 것.
• 매개변수화된 부등식을 사용하여 기존의 m-볼록 및 α-볼록 함수 결과를 일반화하는 것.
• 유도된 부등식을 양의 실수의 특수 평균(예: 산술평균, 조화평균)에 적용하는 것.
• 매개변수 α와 m를 포함한 매개변수화된 프레임워크를 통해 이전의 볼록성 클래스 결과를 통합하고 확장하는 것.

제안 방법

• 부분적분을 사용하여 f(a)와 f(b)의 가중 평균과 [a,b]에서 f의 적분을 포함하는 일반적 적분 항등식을 유도한다.
• 유도된 항등식에 헬더의 적분 부등식을 적용하여 도함수의 노름을 제어하는 데 매개변수 λ, μ, α, m, q를 도입한다.
• |f′|q에 대한 (α,m)-볼록성 조건을 사용하여 유도된 적분을 bound하여 명시적인 상한을 도출한다.
• 다양한 매개변수 영역에서 폐형으로 표현하기 위해 보조 상수 ν₁, ν₂, γ₁, γ₂, γ₃, γ₄를 도입한다.
• f(x) = xⁿ 및 f(x) = 1/x와 같은 특정 함수에 주요 부등식을 적용하여 평균에 대한 구체적인 bound를 도출한다.
• 특수 평균(산술평균, 조화평균, 로그평균)으로의 특수화를 통해 결과를 코로나리얼 및 보조정리로 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 절대값에서 (α,m)-볼록인 도함수를 가진 함수에 대해 힐베르트-하다마르드 유형 부등식을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 |f′|q가 (α,m)-볼록일 때, 적분 평균과 끝점 값 평균 사이의 차이에 대한 최적의 bound는 무엇인가?
• RQ3 매개변수 α와 m는 기존의 볼록 및 m-볼록 함수 부등식을 어떻게 정교화하는가?
• RQ4 유도된 부등식을 양의 실수의 특수 평균을 추정하는 데 적용할 수 있는가?
• RQ5 f′(a), f′(b), f′(a/m), f′(b/m) 및 매개변수 α, m, q에 대한 오차 bound의 명시적 표현은 무엇인가?

주요 결과

• |f′|q가 (α,m)-볼록일 때, (f(a)+f(b))/2 − 1/(b−a)∫ₐᵇ f(x)dx의 편차에 대한 날카운 상한을 유도하였으며, 이는 (b−a)/2 × (1/2)^{1−1/q} × min{(...)}^{1/q}로 주어지며, ν₁, ν₂는 α와 m에 따라 명시적으로 결정된다.
• f(x) = xⁿ이고 |n| ≥ 2일 때, 부등식은 λ, μ, p, q 및 |n|a^{(n−1)q}, b^{(n−1)q}의 멱평균을 포함하는 bound를 도출하여 멱평균에의 적용 가능성을 보여준다.
• f(x) = 1/x일 때, 부등식은 조화평균과 로그평균 사이의 차이에 대한 새로운 bound를 제공하며, 이는 γ₁, γ₂, γ₃, γ₄ 및 q를 통해 표현된다.
• 유도된 bound는 이전의 m-볼록 및 α-볼록 함수 결과를 일반화하고 정교화하며, α=1 또는 m=1일 때 기존의 알려진 부등식을 특수한 경우로 회복한다.
• 결과는 A_r(a,b), H_r(a,b), L_r(a,b)와 같은 특수 평균을 추정하는 데 응용되었으며, 오차 항은 α, m, q에 대해 명시적으로 기술된다.
• 이 프레임워크는 λ와 μ를 통한 오차 bound의 매개변수화 제어를 가능하게 하여 f(a)와 f(b)의 다양한 가중치에 대한 최적화를 허용한다.