[논문 리뷰] Hermitian Self-Dual Cyclic Codes of Length $p^a$ over $GR(p^2,s)$

Somphong Jitman, San Ling외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 26.

Coding theory and cryptography참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이산 푸리에 변환 분해와 기존의 순환 코드에 대한 결과를 활용하여, 갈로아 링 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 길이 $p^a$인 허미션 안정 순환 코드를 특성화하고 개수를 세고 있다. 주요 기여는 이러한 코드의 완전한 개수 세기이며, 이는 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 임의의 길이에 대한 유클리드 안정 순환 코드의 특성화와 개수 세기로 이어지며, 이전의 $\mathbb{Z}_4$ 기반 코드에 대한 문헌에서의 오류를 수정한다.

ABSTRACT

In this paper, we study cyclic codes over the Galois ring ${ m GR}({p^2},s)$. The main result is the characterization and enumeration of Hermitian self-dual cyclic codes of length $p^a$ over ${ m GR}({p^2},s)$. Combining with some known results and the standard Discrete Fourier Transform decomposition, we arrive at the characterization and enumeration of Euclidean self-dual cyclic codes of any length over ${ m GR}({p^2},s)$. Some corrections to results on Euclidean self-dual cyclic codes of even length over $\mathbb{Z}_4$ in Discrete Appl. Math. 128, (2003), 27 and Des. Codes Cryptogr. 39, (2006), 127 are provided.

연구 동기 및 목표

• 길이 $p^a$인 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 허미션 안정 순환 코드를 완전히 특성화하고 개수를 세는 것.
• 이 특성화를 적용하여 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 임의의 길이에 대한 유클리드 안정 순환 코드의 수를 결정하는 것.
• $\mathbb{Z}_4$ 위에서 짝수 길이의 유클리드 안정 순환 코드에 대한 이전 연구에서의 오류를 수정하는 것.
• 순환 코드에 대한 이산 푸리에 변환을 활용한 스펙트럼 분해 프레임워크를 수립하는 것.

제안 방법

• 길이 $n = m p^a$이고 $p \nmid m$인 순환 코드를, $\mathrm{GR}(p^2,s)$의 갈로아 확장 위의 코드들의 곱으로 분해하기 위해 이산 푸리에 변환 분해를 활용한다.
• 분해를 적용하여 유클리드 쌍대를 구성 코드의 쌍대의 곱으로 표현하며, 구성 요소에서 허미션 및 유클리드 쌍대를 사용한다.
• s가 짝수일 때 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 자명한 자기형사 $\bar{\alpha} = a^{p^{s/2}} + b^{p^{s/2}}p$를 사용하여 허미션 쌍대를 정의한다.
• 기존의 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 길이 $p^a$인 순환 코드에 대한 결과와 새로운 허미션 안정 순환 코드의 특성화를 결합하여 유클리드 안정 순환 코드의 개수 세기를 유도한다.
• $m$에 대한 $p$-순환 코셋의 구조를 사용하여 분해 구성 요소를 분류하고 쌍대 조건을 결정한다.
• 분해를 적용하여 [2]와 [4]에서 이전에 잘못된 주장한 $\mathbb{Z}_4$ 위에서 유클리드 안정 순환 코드의 수를 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 길이 $p^a$인 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 허미션 안정 순환 코드는 총 몇 개인가?
• RQ2 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 임의의 길이에 대해 유클리드 안정 순환 코드의 구조를 완전히 특성화할 수 있는가?
• RQ3 $\mathbb{Z}_4$ 위에서 짝수 길이의 유클리드 안정 순환 코드의 올바른 개수는 무엇인가? 특히 $n=6$과 $n=10$의 경우에 대해.
• RQ4 [2]와 [4]에서 $\mathbb{Z}_4$ 기반 유클리드 안정 순환 코드에 대해 잘못된 결과가 나온 이유는 무엇이며, 수정된 공식은 무엇인가?
• RQ5 이산 푸리에 변환 분해가 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 자동으로 안정 순환 코드의 분류와 개수 세기에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 길이 $p^a$인 $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 허미션 안정 순환 코드의 수는 완전히 특성화되고 개수 세기가 이루어졌다.
• $p \nmid m$인 $n = m p^a$에 대해, $\mathrm{GR}(p^2,s)$ 위에서 유클리드 안정 순환 코드의 수는 순환 코셋 유형에 따라 $N_{\rm E}(\mathrm{GR}(p^2,m_h),p^a)$, $N_{\rm H}(\mathrm{GR}(p^2,m_h),p^a)$, $N(\mathrm{GR}(p^2,m_k),p^a)$를 포함하는 곱으로 주어진다.
• $\mathbb{Z}_4$ 위에서 길이 $n=6$인 유클리드 안정 순환 코드의 수는 올바르게 3으로 확인되었으며, [2]와 [4]에서 주장한 1이 아닌 것으로 밝혀졌다.
• $\mathbb{Z}_4$ 위에서 길이 $n=10$인 유클리드 안정 순환 코드의 수는 올바르게 5로 확인되었으며, [2]와 [4]에서 주장한 1이 아닌 것으로 밝혀졌다.
• $N_{\rm E}(\mathbb{Z}_4,2m)=1$ 이 모든 홀수 $m$에 대해 성립한다는 주장은 잘못되었으며, 이는 $m=1$일 때에만 성립한다. 이는 문헌에서 널리 퍼진 오류를 수정한다.
• $\mathbb{Z}_4$ 위에서 길이 $n=m2^a$인 유클리드 안정 순환 코드의 수에 대한 수정된 공식은 $N_{\rm E}(\mathbb{Z}_4,2^a) \times \prod_{h\in J_1} N_{\rm H}(\mathrm{GR}(4,m_h),2^a) \times \prod_{k\in J_2'} N(\mathrm{GR}(4,m_k),2^a)$이다.