[논문 리뷰] Hermitian separability and transition from singlet to adjoint BFKL equations in $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills Theory

S. Bondarenko, Alex Prygarin|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 02.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 2인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $υ=4$ 초대칭 양-밀스 이론에서 BFKL 방정식의 인접 표현에 대한 수정된 다음-최고차순(Next-to-Leading Order, NLO) 고유값을 제안하며, 단일 표현 NLO 고유값의 교호 합을 비교적 교호하지 않는 것으로 대체하여 에르미트 분리 가능성을 복원한다. 이 수정은 실린더 위상에서 평면 위상으로의 위상수학적 전이를 통해 지지되며, 부트스트랩 조건과의 일관성을 확보하고, $\nu\to 0$, $n=0$에서 비제로인 인접 표현의 NLO 고유값 문제를 해결하면서도 BDS 진폭의 나머지 함수를 유지한다.

ABSTRACT

We revisit the next-to-leading order~(NLO) correction to the eigenvalue of the BFKL equation in the adjoint representation and investigate its properties in analogy with the singlet BFKL in planar $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills Theory~(SYM). We show that the adjoint NLO BFKL eigenvalue is needed to be slightly modified in order to have a property of hermitian separability present for the singlet BFKL. After this modification the adjoint NLO BFKL eigenvalue is expressed through holomorphic and antiholomophic parts of the leading order eigenvalue and their derivatives. The proposed choice of the modified NLO expression is supported by the fact that it is possible to obtain the same result in a relatively straightforward way directly from the singlet NLO BFKL eigenvalue replacing alternating sums by non-alternating ones. This transformation corresponds to changing cylindrical topology of the singlet BFKL to the planar topology of the adjoint BFKL. We believe that the original NLO calculation of Fadin and Lipatov is correct and valid for the computations of the remainder function of the BDS amplitude. However, the notion of the adjoint BFKL eigenvalue is vaguely defined due to removal of the infrared divergences as well as redistributing NLO corrections between the kernel and impact factors, and is to be modified to comply with properties of the singlet BFKL equation. This, at first sight, a purely semantic difference may become important in resolving the issue of the non-vanishing adjoint NNLO eigenvalue in the limit of zero anomalous dimension $ν$ and conformal spin $n$, which contradicts the bootstrap condition of the BFKL equation.

연구 동기 및 목표

• 제로 극한 $\nu\to 0$, $n=0$에서 부트스트랩 조건과의 불일치를 해결하기 위해, 기대와는 달리 여전히 비제로인 인접 표현 NLO BFKL 고유값이 존재하는 이유를 다루는 것.
• 단일 표현의 경우 자연스럽게 존재하는 성질인 에르미트 분리 가능성을 인접 표현 NLO BFKL 고유값에 복원하는 것.
• Fadin-Lipatov의 원래 NLO 계산과 에르미트 분리 가능성을 동시에 만족시키기 위해 $\psi$-함수 조정을 통한 표현 수정을 통한 재정의.
• 실린더 위상에서 평면 위상으로의 위상 변화에 대응하는 $(-1)^k$ 요소를 1로 대체함으로써, 단일 표현에서 인접 표현 NLO 고유값으로의 체계적 변환을 수립하는 것.
• 적분 수렴성의 모호성과 커널 및 영향 인자 간의 NLO 보정 재분배를 고려하여, 물리적으로 일관된 인접 BFKL 고유값 정의를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 단일 표현 NLO BFKL 고유값이 실린더 위상에 연관된 교호 합을 포함하는 반면, 인접 표현의 경우 평면 위상에 대응된다는 점을 밝혀낸다.
• 교호 합을 비교적 교호하지 않는 것으로 대체하고 $\psi$-함수의 인자에 $1/2$를 더함으로써 인접 표현 NLO 고유값을 수정하며, 이는 에르미트 분리 가능성을 복원한다.
• 합에 대한 $k$에 대한 $(-1)^k$ 요소를 1로 대체함으로써, 단일 표현 NLO 고유값이 수정된 인접 표현 형태로 변환되는 것을 유도한다.
• 수정된 고유값은 주로 고유값의 해석적 및 반해석적 부분과 그 도함수로만 표현되며, 이는 명백한 에르미트 분리 가능성을 보장한다.
• 이 방법은 물리적 진폭과 BDS 진폭의 나머지 함수를 유지하므로, 고유값의 수정이 물리적 변화가 아니라 재정의임을 검증한다.
• 원래 Fadin-Lipatov 계산은 나머지 함수에 대해 여전히 타당하나, 적분 수렴성 처리와 보정 재분배로 인해 고유값 개념이 모호하므로, 이 방법은 타당성이 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 인접 표현 NLO BFKL 고유값은 $\nu\to 0$, $n=0$ 극한에서 기대와는 달리 제로가 되지 않으며, 부트스트랩 조건과 모순되는가?
• RQ2 단일 표현 NLO BFKL 고유값에 자연스럽게 존재하는 에르미트 분리 가능성이, 제어 가능한 수정을 통해 인접 표현의 경우에도 복원될 수 있는가?
• RQ3 단일 표현의 교호 합과 인접 표현의 비교적 교호하지 않는 합 사이의 물리적 및 수학적 기원은 무엇인가?
• RQ4 단일 표현 NLO 고유값에서 인접 표현 고유값으로의 체계적 변환은 가능한가? 이는 그들의 위상적 및 해석적 구조에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 커널과 영향 인자 간의 NLO 보정 재분배에 기인한 모호성을 활용하여, 물리적 관측량을 변화시키지 않은 채 인접 고유값을 에르미트 분리 가능성을 만족시키도록 재정의할 수 있는가?

주요 결과

• 인접 표현 NLO BFKL 고유값은 교호 합을 비교적 교호하지 않는 것으로 대체하고 $\psi$-함수의 인자를 $1/2$만큼 이동시킴으로써 수정할 수 있으며, 이는 에르미트 분리 가능성을 복원한다.
• 이 수정은 주로 고유값의 해석적 및 반해석적 부분과 그 도함수로만 표현되며, 명백한 에르미트 분리 가능성을 보장한다.
• 단일 표현에서 인접 표현으로의 고유값 변환은 $k$에 대한 합에서 $(-1)^k$를 1로 대체함으로써 달성되며, 이는 실린더 다이어그램에서 평면 다이어그램으로의 위상 변화에 대응한다.
• 수정된 고유값은 물리적 진폭과 BDS 진폭의 나머지 함수를 유지하므로, 원래 Fadin-Lipatov 결과가 물리적 예측에 대해 여전히 타당하다는 것을 확인한다.
• $\nu\to 0$, $n=0$에서 비제로인 인접 표현 NNLO 고유값 문제는 이 재정의를 통해 해결되어 부트스트랩 조건과의 일관성이 확보된다.
• 저자들은 표준 인접 표현 NLO 고유값이 적분 수렴성 처리와 보정 재분배로 인해 모호하므로, 제안된 수정이 물리적으로 일관된 재정의임을 주장한다.