[논문 리뷰] Hermitian vector bundles and extension groups on arithmetic schemes. II. The arithmetic Atiyah extension

Jean-Benoît Bost, Klaus Künnemann|ArXiv.org|2008. 07. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 43인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 산술 스킴 위의 헤르미트 벡터(bundle)에 대한 유니타리 접속이 대수적일 수 없는 데에 기인하는 장애물로 산술 아티야 클래스를 도입한다. 이는 산술 확장군 내의 장애물로, 복소 기저에서의 단위 접속이 대수적일 수 없는 데 기인한 장애물로 기능한다. 논문은 산술 첫 번째 체르누 클래스의 영성과 산술 피카르 다양체의 보편 벡터 확장 위의 유리점 사이의 연결고리를 설정하며, 슈나이더-랑 초월 이론을 통해 핵의 유한성 결과를 증명하고, 특성 0의 곡선 위의 피브레이션에서의 상대 아티야 클래스에 대한 기하적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

In a previous paper, we have defined arithmetic extension groups in the context of Arakelov geometry. In the present one, we introduce an arithmetic analogue of the Atiyah extension that defines an element -- the arithmetic Atiyah class -- in a suitable arithmetic extension group. If $\overline{E}$ is a hermitian vector bundle on an arithmetic scheme $X$, its arithmetic Atiyah class is an obstruction to the algebraicity of the unitary connection on the vector bundle $E_\C$ over the complex manifold $X(\C)$ that is compatible with its holomorphic structure. We develop basic properties of the arithmetic Atiyah class and study its vanishing in the case of hermitian line bundles. This may be translated into a concrete problem of diophantine geometry, concerning rational points of the universal vector extension of the Picard variety of $X$. We investigate this problem, which was already considered and solved in some cases by Bertrand, by using a classical transcendence result of Schneider-Lang, and we derive a finiteness result. We also consider a geometric analog of our arithmetic situation, namely a smooth, projective variety $X$ which is fibered on a curve $C$ defined over some field $k$ of characteristic zero. To any line bundle $L$ over $X$ is attached its relative Atiyah class ${ m at}_{X/C}L$. We describe precisely when this class vanishes. In particular, when the fixed part of the relative Picard variety of $X$ over $C$ is trivial, this holds only when the restriction of $L$ to the generic fiber $X_K$ of $X$ over $C$ is a torsion line bundle.

연구 동기 및 목표

• 산술 스킴 위의 헤르미트 벡터(bundle)의 맥락에서 산술 아티야 클래스를 정의하고 연구하는 것.
• 산술 아티야 클래스를 헤르미트 벡터(bundle)의 복소 기저에서의 유니타리 접속이 대수적일 수 없는 데에 기인하는 장애물로 설정하는 것.
• 산술 첫 번째 체르누 클래스가 호지 코hom로지에서 영이 되는 것과 그 디오판틴적 함의를 조사하는 것.
• 슈나이더-랑 초월 이론을 사용하여 산술 첫 번째 체르누 클래스의 핵에 대한 유한성 결과를 증명하는 것.
• 특성 0의 체 위의 곡선 위의 피브레이션에서 선다발에 대한 상대 아티야 클래스의 기하적 특성화를 제공하는 것.

제안 방법

• 산술 스킴 $X$ 위의 헤르미트 벡터(bundle) $\overline{E}$ 에 대해, 산술 아티야 클래스를 산술 확장군 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(E,E\otimes\Omega_{X/{\mathbb{Z}}}^{1})$ 의 원소로 정의한다.
• 산술 아티야 클래스를 사용하여 산술 호지 코hom로지에 특성류를 구성한다.
• $\hat{c}_{1}^{H}(\overline{L})$ 의 영성과 $X$ 의 피카르 다양체의 보편 벡터 확장 위의 유리점 사이의 관계를 규명한다.
• 고전적 슈나이더-랑 초월 결과를 적용하여 $\hat{c}_{1}^{H}$ 의 핵의 유한성을 확보한다.
• 특성 0의 체 위의 곡선 $C$ 위에 정규적이고 사영적인 다양체 $X$ 가 피브레이션으로 존재하는 경우를 고려하여 기하적 유사를 분석한다.
• 선다발 $L$ 이 $C$ 에 내림내림하는 양의 거듭제곱이 존재할 때, 상대 아티야 클래스 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ 가 $H^1(X, \Omega^1_{X/C})$ 에서 영이 되는 것을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 산술 아티야 클래스 $\widehat{{\rm at}}_{X/{\mathbb{Z}}}(\overline{E})$ 는 언제 영이 되며, 이는 $E_\mathbb{C}$ 에서의 유니타리 접속의 대수성에 어떤 함의를 갖는가?
• RQ2 산술 첫 번째 체르누 클래스 $\hat{c}_1^H(\overline{L})$ 가 $\widehat{\rm Ext}^1_X(\mathcal{O}_X, \Omega^1_{X/\mathbb{Z}})$ 에서 영일 경우, 그 디오판틴적 해석은 무엇인가?
• RQ3 슈나이더-랑 초월 정리가 $\hat{c}_1^H$ 의 핵의 구조에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 어떤 기하적 조건에서 선다발 $L$ 이 피브레이션 $X \to C$ 에서 상대 아티야 클래스 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ 가 영이 되는가?
• RQ5 상대 피카르 다양체의 고정 부분이 자명할 경우, 선다발 $L$ 이 상대 아티야 클래스가 영이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 산술 아티야 클래스 $\widehat{{\rm at}}_{X/{\mathbb{Z}}}(\overline{E})$ 는 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(E,E\otimes\Omega_{X/{\mathbb{Z}}}^{1})$ 에 속하며, $E_\mathbb{C}$ 에서의 유니타리 접속의 대수성에 장애를 둔다.
• $\hat{c}_1^H(\overline{L})$ 의 영성은 $X$ 의 피카르 다양체의 보편 벡터 확장 위의 유리점에 대응한다.
• 슈나이더-랑 초월 결과를 사용하여, $\hat{c}_1^H$ 의 핵에 대한 유한성 정리를 증명한다.
• 특성 0의 체 위의 곡선 $C$ 에 대한 정규적이고 사영적인 피브레이션 $X \to C$ 에서, 상대 피카르 다양체의 고정 부분이 자명할 경우, 선다발 $L$ 에 대해 상대 아티야 클래스 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ 가 영이 되는 것은 어떤 양의 거듭제곱이 $C$ 에 내림내림하는 것과 동치이다.
• 산술 아티야 클래스는 산술 호지 코호몰로지에서 특성류를 정의하는 데 도구로 기능한다.
• 이 연구는 산술 기하학, 초월 이론, 아라켈로프 이론에서 벡터 번들의 기하학 사이에 정밀한 연결고리를 설정한다.