[논문 리뷰] Heun-Polynomial Representation of Regular-at-Infinity Solutions for the Basic SUSY Ladder of Hyperbolic Pöschl-Teller Potentials Starting from the Reflectionless Symmetric Potential Well

Gregory Natanson|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 07.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 45인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 정수 매개변수를 가진 쌍곡선 Pöschl-Teller 잠재력과 함께 1차원 슈뢰딩거 방정식의 무한에서 정칙인 해를 다루며, 반사 없고 대칭적인 잠재력 우물을 시드로 사용하여 Heun-다항식 표현을 유도한다. 이 해들은 변환된 변수에서 표현될 때, 보조 매개변수가 0인 복소 Lambe-Ward 다항식의 부분집합을 이룬다. 또한 이들은 캐논리컬 리우빌-다르부 변환을 통해 형상 불변인 유리형 잠재력을 생성하는 거의 곳 곳에서 해석적인 인수 분해 함수로 기능한다.

ABSTRACT

It is shown that the regular-at-infinity solution of the 1D Schrodinger equation with the hyperbolic Poschl-Teller (h-PT) potential with integer parameters is expressible in terms of a n-order Heun polynomial in y=thr at an arbitrary negative energy. It was proven that the Heun polynomials in question form a subset of generally complex Lambe-Ward polynomials corresponding to zero value of the accessory parameter. Since the mentioned solution expressed in the new variable y has an almost-everywhere holomorphic (AEH) form it can be used as the factorization function (FF) for canonical Liouville-Darboux transformations (CLDTs) to construct a continuous family of shape-invariant rational potentials exactly-solvable by the Hp-seed (HpS) Heine polynomials. There are also two sequences of infinitely many rational potentials generated using CLDTs with nodeless regular-at-origin AEH FFs.

연구 동기 및 목표

• 정수 매개변수를 가진 쌍곡선 Pöschl-Teller 잠재력에 대해 무한에서 정칙인 해의 닫힌 형태 표현을 유도하는 것.
• 이 해들과 보조 매개변수가 0인 Heun 다항식 간의 관계를 확립하는 것.
• 이 해들을 캐논리컬 리우빌-다르부 변환에 사용할 수 있는 거의 곳 곳에서 해석적인 인수 분해 함수로 활용하는 것.
• 이러한 변환을 통해 형상 불변인 유리형 잠재력의 연속적인 가족을 생성하는 것.
• 노드가 없는, 원점에서 정칙인 인수 분해 함수를 사용하여 두 개의 유한한 무한 수열의 유리형 잠재력을 구성하는 것.

제안 방법

• 1차원 슈뢰딩거 방정식을 쌍곡선 Pöschl-Teller 잠재력으로 변환하여 y = tanh(r)라는 새로운 변수를 도입함으로써, 무한에서 정칙인 해 표현을 가능하게 한다.
• 해를 y 변수에서의 n차 Heun 다항식으로 표현하며, 임의의 음의 에너지에서 유효하다.
• 이 Heun 다항식이 일반적으로 복소 Lambe-Ward 다항식의 부분집합이며, 보조 매개변수가 0임을 증명한다.
• 해의 거의 곳 곳에서 해석적(AEH) 성질을 이용하여 캐논리컬 리우빌-다르부 변환(CLDTS)에 사용할 수 있는 인수 분해 함수(FF)를 정의한다.
• CLDTs를 적용하여 형상 불변인 유리형 잠재력의 연속적인 가족을 생성하며, 이는 Hp-시드 Heine 다항식을 통해 정확히 해석 가능하다.
• 노드가 없고 원점에서 정칙인 AEH 인수 분해 함수를 사용하여 추가로 두 개의 무한한 유리형 잠재력 수열을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쌍곡선 Pöschl-Teller 잠재력과 함께 1차원 슈뢰딩거 방정식의 무한에서 정칙인 해는 Heun 다항식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 이 Heun 다항식과 Lambe-Ward 다항식 가족 간의 관계는 무엇이며, 특히 보조 매개변수가 0일 경우 어떻게 되는가?
• RQ3 해의 거의 곳 곳에서 해석적(AEH) 형태는 캐논리컬 리우빌-다르부 변환에서 인수 분해 함수로 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ4 이 AEH 해를 시드로 사용할 경우, CLDTs를 통해 어떤 유형의 유리형 형상 불변 잠재력이 생성될 수 있는가?
• RQ5 노드가 없고 원점에서 정칙인 AEH 인수 분해 함수를 이 해로부터 유도하여, 무한한 수열의 유리형 잠재력을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 정수 매개변수를 가진 쌍곡선 Pöschl-Teller 잠재력의 무한에서 정칙인 해는 임의의 음의 에너지에서 y = tanh(r)에서의 n차 Heun 다항식으로 표현 가능하다.
• 이 Heun 다항식들은 보조 매개변수가 0인 복소 Lambe-Ward 다항식의 부분집합을 이룬다.
• y 변수에서의 해는 거의 곳 곳에서 해석적(AEH)이며, 이는 캐논리컬 리우빌-다르부 변환(CLDTS)에서 인수 분해 함수(FF)로 사용될 수 있음을 의미한다.
• 이 AEH FF를 사용하여 형상 불변인 유리형 잠재력의 연속적인 가족이 생성되며, 이는 Hp-시드 Heine 다항식을 통해 정확히 해석 가능하다.
• 노드가 없고 원점에서 정칙인 AEH 인수 분해 함수를 사용하여 두 개의 무한한 유리형 잠재력 수열이 구성된다.
• 이 방법은 단일 반사 없고 대칭적인 잠재력 우물을 시드로 사용하여 정확히 해석 가능한 형상 불변 잠재력을 체계적으로 생성할 수 있는 프레임워크를 제공한다.