[논문 리뷰] Hidden automatic sequences

Jean‐Paul Allouche, F. M. Dekking외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 02.

semigroups and automata theory참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비균일 호모모르피즘으로 생성된 모르픽 시퀀스가 실제로 q-자동적(특히 어떤 q에 대해 q-automatic)인지 식별할 수 있는 기준을 제시한다. 호모모르피즘의 인cidenc 행렬의 스펙트럴 반경과 길이 벡터가 왼쪽 고유벡터임을 확인하는 것을 통해, 명시적 구성 없이도 자동성 여부를 판단한다. 핵심 기여는 '숨겨진 자동 시퀀스'—즉, 모폴로지적으로 생성되지만 동시에 자동적인 시퀀스—를 식별할 수 있는 일반 정리의 제시이며, 이는 그리고르추크 유사 군과 르시스노크 고정점과 같은 알려진 시퀀스에 응용된다.

ABSTRACT

An automatic sequence is a letter-to-letter coding of a fixed point of a uniform morphism. More generally, we have morphic sequences, which are letter-to-letter codings of fixed points of arbitrary morphisms. There are many examples where an, a priori, morphic sequence with a \emph{non-uniform} morphism happens to be an automatic sequence. An example is the Lysënok morphism $a o aca$, $b o d$, $c o b$, $d o c$, the fixed point of which is also a 2-automatic sequence. Such an identification is useful for the description of the dynamical systems generated by the fixed point. We give several ways to uncover such hidden automatic sequences, and present many examples. We focus in particular on morphisms associated with Grigorchuk(-like) groups.

연구 동기 및 목표

• 비균일 호모모르피즘으로 정의된 모르픽 시퀀스가 실제로 q-automatic인지 판단하는 조건을 규명하는 것.
• '숨겨진 자동 시퀀스'—즉, 모폴로지적으로 생성되지만 동시에 자동적인 시퀀스—를 식별할 수 있는 일반 기준을 제공하는 것.
• 그리고르추크 유사 군에서 유도된 시퀀스 및 알려진 모르픽 시스템에서 유도된 시퀀스에 이 기준을 적용하는 것.
• 비균일 호모모르피즘의 고정점의 자동성에 관한 오랫동안 남아있던 질문, 예를 들어 르시스노크 호모모르피즘의 고정점에 대해 해결하는 것.
• 궤도 폐쇄와 복잡도 분석을 통해 자동성이 성립하지 않는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 1978년 덱킹의 정리를 재구성하여, 비단절단 호모모르피즘의 길이 벡터가 그 인cidenc 행렬의 왼쪽 고유벡터이면, 고정점은 스펙트럴 반경 q에 대해 q-automatic임을 보여주는 것.
• 이미지 단어의 위치에 따라 인덱싱된 기호들을 기반으로 기호 재배열을 통한 유도된 균일 호모모르피즘을 구성함으로써 자동성 전이 가능성을 확보하는 것.
• 주요 정리의 특수한 경우인 애너그램 정리를 활용하여, 비균일 호모모르피즘으로 정의된 OEIS 시퀀스의 자동성을 검증하는 것.
• 스펙트럴 반경과 고유벡터 조건을 적용하여, 르시스노크 호모모르피즘의 고정점이 2-automatic임을 확인하는 것.
• 스펙트럴 조건이 실패할 경우 궤도 폐쇄와 복잡도 분석을 통해 자동성이 성립하지 않음을 증명하며, 특히 슈투르미안 또는 비선형 복잡도 시퀀스의 경우에 초점을 맞추는 것.
• 동역학계 이론과 자동 시퀀스 이론의 결과를 활용하여, 자가유사 군의 맥락에서 모르픽 및 자동적 구조를 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 호모모르피즘의 고정점이 언제 q-automatic이 되는가?
• RQ2 르시스노크 호모모르피즘의 고정점이 일반 기준을 통해 2-automatic으로 식별될 수 있는가?
• RQ3 스펙트럴 조건이 실패할 경우, 자동적인 모르픽 시퀀스와 그렇지 않은 시퀀스를 어떻게 구분할 수 있는가?
• RQ4 인cidenc 행렬의 고유벡터와 스펙트럴 반경은 숨겨진 자동 시퀀스를 식별하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특히 그리고르추크 군과 관련된 시퀀스에서, 자동성에 대한 구조적 또는 복잡도 이론적 장애 요소는 무엇인가?

주요 결과

• 호모모르피즘 $a\to aca$, $b\to d$, $c\to b$, $d\to c$의 고정점은 고유벡터 조건과 스펙트럴 반경 2를 통해 2-automatic임이 확인되었다.
• 비균일 호모모르피즘으로 정의된 이스트라일의 정사각형 자유 시퀀스는 동일한 기준을 통해 3-automatic임이 입증되었다.
• 호모모르피즘 $a\to aca$, $b\to bc$, $c\to b$의 고정점은 부분수열이 슈투르미안이므로 자동적이지 않다.
• 호모모르피즘 $a\to aca$, $c\to cd$, $d\to c$의 고정점은 유도된 부분수열이 슈투르미안이므로 자동적이지 않다.
• 비유리수 문자 빈도를 가진 시퀀스, 예를 들어 피보나치 시퀀스는 자동적이지 않으며, 이는 자동성에 유리수 빈도가 필수적임을 확인한다.
• 애너그램 정리는 길이 벡터의 고유벡터 조건을 검토하는 것으로, OEIS 내 모르픽 시퀀스의 자동성을 실용적으로 검증할 수 있는 방법을 제공한다.