[논문 리뷰] Hidden Quantum Markov Models and non-adaptive read-out of many-body states

Alex Monràs, Almut Beige외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 11.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 23인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 스토하스틱 양자 작용을 바르는 보어-바이어만 측정 대신 사용하는 양자 유한상태 생성기의 일반화인 은닉 양자 마르코프 모델(HQMMs)을 소개한다. 이는 확률적 과정의 더 효율적인 압축을 가능하게 한다. HQMMs가 고전적 은닉 마르코프 모델이 구현할 수 없는 프로세스 언어—예를 들어 번갈아나는 이진 수열—을 생성할 수 있음을 보이며, 1차원 클러스터 상태의 비적응적 독출이 두 상태의 HQMM과 동치임을 증명함으로써 양자 모델이 고전 모델보다 더 높은 압축 성능을 낼 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Stochastic finite-state generators are compressed descriptions of infinite time series. Alternatively, compressed descriptions are given by quantum finite- state generators [K. Wiesner and J. P. Crutchfield, Physica D 237, 1173 (2008)]. These are based on repeated von Neumann measurements on a quantum dynamical system. Here we generalise the quantum finite-state generators by replacing the von Neumann pro jections by stochastic quantum operations. In this way we assure that any time series with a stochastic compressed description has a compressed quantum description. Moreover, we establish a link between our stochastic generators and the sequential readout of many-body states with translationally-invariant matrix product state representations. As an example, we consider the non-adaptive read-out of 1D cluster states. This is shown to be equivalent to a Hidden Quantum Model with two internal states, providing insight on the inherent complexity of the process. Finally, it is proven by example that the quantum description can have a higher degree of compression than the classical stochastic one.

연구 동기 및 목표

• 보어-바이어만 측정 대신 스토하스틱 양자 작용을 사용함으로써 양자 유한상태 생성기를 일반화하여 더 넓은 범위의 프로세스 언어를 생성할 수 있도록 한다.
• 행렬 곱 상태(MPS) 표현을 가진 다체 양자 상태의 비적응적 독출과 HQMMs 사이에 형식적인 연결 고리를 구축한다.
• 특정 프로세스 언어에 대해 HQMMs가 고전적 스토하스틱 유한상태 기계보다 더 높은 압축 효율성을 달성할 수 있음을 보여준다.
• 제한된 액세스 조건에서 순차적 측정 과정을 모델링하기 위한 양자 이론적 프레임워크를 제공한다. 이는 측정 기반 양자 계산과 관련된다.
• 양자 메모리와 비측정 측정이 프로세스 생성에 필요한 내부 상태 수를 줄이는 데서 수행하는 역할을 탐색한다.

제안 방법

• 양자 유한상태 생성기에서 프로젝티브(보어-바이어만) 측정을 일반적인 양자 작용(완전히 양성 매핑)으로 대체함으로써, 비결정적이고 붕괴하지 않는 상태 진동을 허용한다.
• 각 측정 결과가 양자 작용을 유도하는 동적 개방 양자 시스템으로 시스템을 모델링하며, 결과에 따라 시스템 상태가 갱신된다.
• 양자 작용을 기술하기 위해 크라우스 연산자 형식을 사용하며, 각 결과는 크라우스 연산자 $ K_y $와 연결되며, 측정 후 상태는 $ \rho' = \sum_y K_y \rho K_y^\dagger $ 로 표현된다.
• 반복적인 양자 작용과 측정을 통해 생성된 고전적 측정 결과의 순서를 프로세스 언어로 정의한다.
• 적절한 크라우스 연산자를 설계하여 특정 프로세스—예를 들어 번갈아나는 이진 수열—에 대해 HQMMs를 구성한다. 이는 원하는 결과 통계를 재현한다.
• 1차원 클러스터 상태의 비적응적 독출과 두 수준의 HQMM 간의 동치성을 확립함으로써, 다체 시스템 내에서 HQMM의 직접적인 물리적 실현이 가능함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 양자 작용은 보어-바이어만 측정보다 더 넓은 범위의 스토하스틱 과정을 모델링할 수 있도록 양자 유한상태 생성기를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 1차원 클러스터 상태의 비적응적 독출과 일반화된 측정을 갖는 양자 유한상태 기계 사이에 직접적인 대응 관계가 존재하는가?
• RQ3 동일한 프로세스 언어에 대해 HQMMs가 고전적 은닉 마르코프 모델보다 더 적은 수의 내부 상태를 사용할 수 있는가?
• RQ4 양자 메모리와 비측정 측정이 스토하스틱 과정의 더 효율적인 압축을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ5 기본 양자 시스템의 차원 수가 생성 가능한 프로세스 언어의 범위를 어떻게 제한하는가?

주요 결과

• HQMMs는 비측정적이고 스토하스틱인 양자 작용을 허용함으로써 양자 유한상태 생성기를 일반화하여, 보어-바이어만 기반 모델이 접근할 수 없는 프로세스 언어의 생성이 가능해진다.
• 1차원 클러스터 상태의 비적응적 독출은 두 상태의 은닉 양자 마르코프 모델과 동치이며, 이는 다체 시스템 내에서 HQMM의 직접적인 물리적 실현을 보여준다.
• 비대칭 확률을 가진 특정한 번갈아나는 이진 수열은 두 상태의 은닉 마르코프 모델로는 생성할 수 없지만, 비측정 측정을 사용하는 두 상태의 HQMM을 통해 성공적으로 생성된다.
• 번갈아나는 수열에 대한 HQMM 표현은 크라우스 연산자 $ K_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle\langle\uparrow| $, $ K_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\langle\downarrow| $, $ K_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle\langle+| $, $ K_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\langle-| $ 를 사용하며, 이는 정확한 결과 통계를 재현한다.
• 식 (75)에 기술된 전이 행렬로 묘사된 모델은 두 상태의 HMM으로는 실현할 수 없지만, 식 (88)의 HQMM을 통해 실현 가능하며, 이는 압축에서 양자적 우월성을 증명한다.
• 논문은 예시를 통해 양자 기술이 고전적 스토하스틱 모델보다 더 높은 압축 성능을 낼 수 있음을 증명한다. 동일한 프로세스에 대해 HQMM은 최소 고전적 HMM보다 더 적은 내부 상태를 사용한다.