[논문 리뷰] Hierarchical Schur complement preconditioner for the stochastic Galerkin finite element methods Dedicated to Professor Ivo Marek on the occasion of his 80th birthday.

Bedřich Sousedík, Roger Ghanem외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 01.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 37인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 확률적 갈레르킨 유한요소법을 위한 계층적 슈어 여인자(preconditioner)를 제안하며, 전역 행렬의 재귀적 2×2 블록 구조를 활용하여 켈리브 서브스페이스 반복의 수렴를 가속화한다. 평균값 문제 블록에서 내부 켈리브 반복을 통해 역행렬 작용을 근사하고, 명시적 행렬 조립을 피하여 타원 문제에 대해 조건수에 상한이 존재하는 강건한 수렴을 달성한다. 수치적으로 검증되었다.

ABSTRACT

SUMMARY Use of the stochastic Galerkin finite element methods leads to large systems of linear equations obtained by the discretization of tensor product solution spaces along their spatial and stochastic dimensions. These systems are typically solved iteratively by a Krylov subspace method. We propose a preconditioner which takes an advantage of the recursive hierarchy in the structure of the global matrices. In particular, the matrices posses a recursive hierarchical two-by-two structure, with one of the submatrices block diagonal. Each one of the diagonal blocks in this submatrix is closely related to the deterministic mean-value problem, and the action of its inverse is in the implementation approximated by inner loops of Krylov iterations. Thus our hierarchical Schur complement preconditioner combines, on each level in the approximation of the hierarchical structure of the global matrix, the idea of Schur complement with loops for a number of mutually independent inner Krylov iterations, and several matrix-vector multiplications for the off-diagonal blocks. Neither the global matrix, nor the matrix of the preconditioner need to be formed explicitly. The ingredients include only the number of stiffness matrices from the truncated Karhunen-Lo` eve expansion and a good preconditioned for the mean-value deterministic problem. We provide a condition number bound for a model elliptic problem and the performance of the method is illustrated by numerical experiments. Submitted as preprint to ArXiv.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 계수를 가진 타원 PDE의 스트로스틱 갈레르킨 이산화에서 발생하는 크고 구조화된 선형 연립방정식을 해결하는 데 도전한다.
• 공간적 및 확률적 차원에서 텐서 곱 이산화 공간에서 반복적 해법의 높은 계산 비용을 극복한다.
• 전역 행렬의 재귀적 계층적 구조를 이용하여 명시적 행렬 조립 없이 여인자를 개발한다.
• 평균값 문제 블록에서 내부 켈리브 반복을 통해 역행렬 작용을 근사하여 확장성과 효율성을 확보한다.
• 이론적 조건수 상한을 제공하고 수치 실험을 통해 강건한 성능을 입증한다.

제안 방법

• 전역 행렬의 재귀적 2×2 블록 구조를 활용하며, 한 하위행렬은 결정론적 평균값 문제에 대응하는 블록 대각 행렬이다.
• 계층적 행렬 구조의 각 수준에서 슈어 여인자 기법을 재귀적으로 적용하여 시스템을 분리하고 여인자로 조정한다.
• 내부 켈리브 하위스페이스 반복을 통해 대각 블록의 역행렬을 근사하며, 평균값 문제용 여인자를 재사용한다.
• 오직 비대각 블록에 대해서만 행렬-벡터 곱을 수행하여 전체 행렬 조립을 피한다.
• 전체 행렬이나 여인자를 명시적으로 형성하지 않고, 잘라낸 카르누엔-로에르 전개에서 유도된 강성 행렬을 입력으로 사용한다.
• 외부 켈리브 반복과 다중 독립 내부 켈리브 루프를 조합하여 여인자 작용을 효율적으로 근사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률적 갈레르킨 행렬의 계층적 블록 구조는 어떻게 효율적이고 행렬 기반 여인자 설계에 활용될 수 있는가?
• RQ2 모델 타원 문제에 대해 여인자로 조정된 시스템의 이론적 조건수 상한은 무엇인가?
• RQ3 명시적 행렬 조립 없이도 평균값 문제 블록에서 내부 켈리브 반복이 역행렬 작용을 효과적으로 근사할 수 있는가?
• RQ4 기본적인 여인자 접근 방식과 비교해 볼 때, 제안된 방법은 수렴 특성과 계산 비용 측면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ5 이 방법은 증가하는 확률적 차원과 메쉬 세분화에 대해 어느 정도 확장 가능한가?

주요 결과

• 계층적 슈어 여인자 방법은 모델 타원 문제에 대해 확률적 차원에 관계없이 조건수 상한을 확보한다.
• 이 방법은 전역 행렬과 여인자를 명시적으로 형성하지 않으며, 오직 강성 행렬과 평균값 문제용 여인자에 의존한다.
• 수치 실험을 통해 다양한 확률적 이산화 수준과 메쉬 세분화에서 강건한 수렴 행동을 확인하였다.
• 평균값 문제 블록에서 내부 켈리브 반복을 사용함으로써 역행렬 작용의 효과적이고 효율적인 근사가 가능하다.
• 재귀적이고 행렬 기반의 구조 덕분에 고차원 확률 문제에서도 효율성이 유지된다.
• 해결책은 확장성과 안정성을 보이며, 증가하는 확률적 차원에 따라 수렴 속도가 크게 영향을 받지 않는다.