[논문 리뷰] Hierarchically deflated conjugate gradient

P A Boyle|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 11.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 20인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 라티스 QCD에서 도메인 월 및 موب이우스 페르미온과 같은 다섯 차원의 치랄 페르미온 시스템을 해결하기 위해 계층적 감소된 공액 그래디언트(HDCG) 알고리즘을 소개한다. 다섯 차원의 거친 격자와 적외선 이동 조절 조건자(preconditioner)를 사용한 다수준 감소를 통해 스텐실 복잡도와 통신 비용을 줄였으며, 거친 격자 연산에서 최대 10배의 속도 향상을 달성하고 블루지엔/큐 하드웨어에서 수렴 효율성을 유지한다.

ABSTRACT

We present a multi-level algorithm for the solution of five dimensional chiral fermion formulations, including domain wall and Mobius Fermions. The algorithm operates on the red-black preconditioned Hermitian operator, and directly accelerates conjugate gradients on the normal equations. The coarse grid representation of this matrix is next-to-next-to-next-to-nearest neighbour and multiple algorithmic advances are introduced, which help minimise the overhead of the coarse grid. The treatment of the coarse grids is purely four dimensional, and the bulk of the coarse grid operations are nearest neighbour. The intrinsic cost of most of the coarse grid operations is therefore comparable to those for the Wilson case. We also document the implementation of this algorithm in the BAGEL/Bfm software package and report on the measured performance gains the algorithm brings to simulations at the physical point on IBM BlueGene/Q hardware.

연구 동기 및 목표

• 근처 영역 모드로 인한 높은 조건수로 인해 5차원 치랄 페르미온 표현에서 공액 그래디언트 해법기의 수렴 속도 저하 문제를 해결한다.
• 5차원 디랙 연산자의 거친 격자 연산 비용을 줄이는 스케일러블한 다수준 감소 방법을 개발한다.
• 근접 이웃 스텐실을 사용한 4차원 거친 격자 표현을 통해 계층적 멀티그리드 해법기의 알고리즘 오버헤드를 최소화한다.
• 저해상도 데이터 표현을 통해 통신 대역폭을 줄임으로써 블루지엔/큐에서의 성능을 향상시키되, 수렴성을 손상시키지 않는다.

제안 방법

• 5차원 디랙 연산자의 에르미트 형태에 레드블랙 조건자를 적용하고, 정규 방정식을 공액 그래디언트로 해결한다.
• 저에너지 모드를 표현하기 위해 1⁴ 세 번째 격자 거친 공간을 사용한 계층적 감소 프레임워크를 도입한다.
• 작은 디랙 연산자의 근접 이웃 근사의 절단을 기반으로 한 적외선 이동 조건자를 도입하여 스텐실 복잡도를 감소시킨다.
• 표준 슈어 보조 방법 대비 10배 빠른 거친 격자 해법을 위해 ADEF-2 알고리즘을 구현한다.
• 노드 간 데이터 교환에서 저해상도 통신(예: 16비트 가수)을 적용하여 대역폭을 최대 4배 감소시키면서도 수렴성을 유지한다.
• 다중 행렬-벡터 연산에서 게이지 및 페르미온 필드를 재사용함으로써 캐시 우수한 메모리 액세스 패턴을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 도메인 월 페르미온과 같은 5차원 치랄 페르미온 표현에 다수준 감소를 효과적으로 적용할 수 있는가? 이때 거친 격자 비용이 금지 수준이 되지 않는가?
• RQ2 거친 격자 연산자의 스텐실 복잡도를 표준 윌슨 페르미온과 동일하게 줄일 수 있는가? 이때 정확도는 유지되는가?
• RQ3 저해상도 데이터 표현을 통해 통신 대역폭을 얼마나 줄일 수 있는가? 이로 인해 케리로프 해법기의 수렴성이 떨어지지 않는가?
• RQ4 근접 이웃 절단을 기반으로 한 적외선 이동 조건자가 5차원 해법기에서 성능과 안정성을 향상시키는가?
• RQ5 블루지엔/큐에서 대규모 라티스 QCD 시뮬레이션에서 계층적 감소 프레임워크가 강건성과 효율성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• ADEF-2 알고리즘을 표준 슈어 보조 방법 대신 사용함으로써 작은 디랙 연산자 오버헤드를 10배 감소시켰다.
• 적외선 이동 조건자가 거친 격자 행렬 곱셈의 대부분을 근접 이웃 스텐실로 줄여, 윌슨 페르미온 해법기와 동일한 복잡도를 달성했다.
• 저해상도 통신(7비트 가수)을 통해 대역폭을 4배 감소시켰고, 수렴성에 영향을 주지 않으면서도 168회의 외부 반복을 유지했다.
• 거친 격자 연산은 순수하게 4차원이었으며, 이로 인해 게이지 및 페르미온 필드의 효율적 재사용과 캐시 국소성 향상이 가능했다.
• IBM 블루지엔/큐에서 뚜렷한 성능 향상을 달성했으며, 통신 감소 효과가 도메인 분할 기반 성능 향상보다 앞서는 이유는 느린 인터커넥트 스케일링 때문이었다.
• 조건자 변동성에 대해도 조건부 공액 그래디언트 해법기가 강건하여, 탌성 Krylov 방법의 필요성을 줄였다.