[논문 리뷰] Hierarchy of topological order from finite-depth unitaries, measurement and feedforward

Nathanan Tantivasadakarn, Ashvin Vishwanath외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 09. 13.

Sensor Technology and Measurement Systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 깊이(unitary), 측정, 피드포워드를 사용하여 장거리 얽힌 양자 상태를 준비하기 위해 필요한 측정 샘플 수를 기반으로 위상적 순서의 계층을 수립한다. 비아벨 양자 듀얼리티(quantum doubles) 중 중심 급수(class)가 2인 노름군(nilpotent groups)의 경우(예: $D_4$, $Q_8$)는 한 번의 측정 샘플로 준비 가능하며, 가환군의 양자 듀얼리티는 크라머스-반너 이중성(Kramers-Wannier duality)을 통해 유한한 샘플 수로 준비 가능하다. 반면, 비가환 위상 순서인 피보나치 anyon은 어떤 유한한 수의 측정 샘플로도 준비할 수 없으며, 이는 위상 상에서 새로운 복잡성 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

Long-range entanglement--the backbone of topologically ordered states--cannot be created in finite time using local unitary circuits, or equivalently, adiabatic state preparation. Recently it has come to light that single-site measurements provide a loophole, allowing for finite-time state preparation in certain cases. Here we show how this observation imposes a complexity hierarchy on long-range entangled states based on the minimal number of measurement layers required to create the state, which we call "shots". First, similar to Abelian stabilizer states, we construct single-shot protocols for creating any non-Abelian quantum double of a group with nilpotency class two (such as $D_4$ or $Q_8$). We show that after the measurement, the wavefunction always collapses into the desired non-Abelian topological order, conditional on recording the measurement outcome. Moreover, the clean quantum double ground state can be deterministically prepared via feedforward--gates which depend on the measurement outcomes. Second, we provide the first constructive proof that a finite number of shots can implement the Kramers-Wannier duality transformation (i.e., the gauging map) for any solvable symmetry group. As a special case, this gives an explicit protocol to prepare twisted quantum double for all solvable groups. Third, we argue that certain topological orders, such as non-solvable quantum doubles or Fibonacci anyons, define non-trivial phases of matter under the equivalence class of finite-depth unitaries and measurement, which cannot be prepared by any finite number of shots. Moreover, we explore the consequences of allowing gates to have exponentially small tails, which enables, for example, the preparation of any Abelian anyon theory, including chiral ones. This hierarchy paints a new picture of the landscape of long-range entangled states, with practical implications for quantum simulators.

연구 동기 및 목표

• 유한 시간 내에 준비하기 위해 필요한 최소 측정 샘플 수를 기반으로 장거리 얽힌 위상적 순서를 분류하는 것.
• 아디아바틱 또는 유니터리 회로를 초월하여 측정과 피드포워드가 위상적 순서 상태를 준비하는 데 어떻게 기여하는지 탐색하는 것.
• 어느 위상적 순서가 유한한 수의 측정 샘플로 준비 가능한지, 어느 것은 무한하거나 비국소적 자원이 필요한지 규명하는 것.
• 유한 깊이의 유니터리와 측정에 대해 위상적 순서의 새로운 동치 클래스를 수립하여, 유한 샘플 수로 준비 가능한지 여부를 구분하는 것.

제안 방법

• 중심 급수 2인 군에 대한 비아벨 양자 듀얼리티를 준비하기 위해 단일 위치 측정과 유한 깊이 유니터리를 사용하는 한 번의 측정 샘플 프로토콜을 구성한다.
• 피드포워드를 사용하여 두 개 이상의 측정 샘플로 가환군에 대한 크라머스-반너 이중성 맵(gauging map)의 측정 기반 실현을 도입한다.
• 일반화된 클러스터 상태와 인자 체계(factor systems)를 사용하여 측정 결과에 조건부로 작용하는 유니터리 연산으로서의 크라머스-반너 변환을 유도한다.
• 측정 결과에 따라 결정적으로 작용하는 피드포워드 게이트를 적용하여 목표 위상 순서의 깨끗한 기본 상태를 정확히 준비한다.
• 지수적으로 감쇠하는 尾를 지닌 준국소적 유니터리의 역할을 분석하여, 아벨 anyon 이론(채널적 포함)까지의 준비 가능 영역를 확장한다.
• 비국소적 결함 생성에 기반한 금지 조건(no-go argument)을 적용하여, 피보나치 anyon과 비가환 양자 듀얼리티가 어떤 유한한 수의 측정 샘플로도 준비될 수 없음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심 급수 2인 비아벨 위상적 순서는 측정과 유한 깊이 유니터리를 사용해 한 번의 측정 샘플로 준비할 수 있는가?
• RQ2 가환 대칭군에 대한 크라머스-반너 이중성 맵을 구현하기 위해 필요한 최소 측정 샘플 수는 얼마인가?
• RQ3 주어진 프레임워크 하에서 어떤 유한한 수의 측정 샘플로도 준비할 수 없는 위상적 순서가 존재하는가?
• RQ4 준비에 필요한 샘플 수에 따라 위상적 위상의 측정 동치 클래스가 계층적으로 정렬될 수 있는가?
• RQ5 지수적으로 감쇠하는 尾를 지닌 준국소적 유니터리를 포함하면 준비 가능한 anyon 이론의 집합은 어떻게 영향을 받는가?

주요 결과

• 중심 급수 2인 노름군(예: $D_4$, $Q_8$)의 양자 듀얼리티는 데코레이티드 도메인 월 SPT 상태를 측정함으로써 한 번의 측정 샘플로 준비 가능하며, 피드포워드를 통해 결정적으로 준비된다.
• 가환군의 게이지화를 위한 유한 샘플 프로토콜이 크라머스-반너 이중성 맵을 사용하여 구성되었으며, 샘플 수는 군의 유도 길이(derived length)에 의해 상한이 정해진다.
• 피보나치 anyon 이론은 비국소적 결함 생성이 필요하므로 어떤 유한한 수의 측정 샘플로도 준비될 수 없다. 이는 유한 깊이 회로와 측정으로는 해결될 수 없다.
• 비가환 양자 듀얼리티, 예를 들어 $A_5$에 대한 것들은 측정 동치 클래스 하에서 비자명한 위상으로 나타나며, 이는 유한 샘플로 준비될 수 없음을 의미한다.
• 지수적으로 감쇠하는 尾를 지닌 준국소적 유니터리를 포함하면, 채널적 포함을 포함한 모든 아벨 anyon 이론을 준비할 수 있으며, 이는 더 넓은 준비 가능 영역을 의미한다.
• 3+1차원에서 아벨 0-형 대칭을 지닌 2군 게이지 이론에 대해 한 번의 측정 샘플 프로토콜을 구성하였으며, 중심 급수 2 양자 듀얼리티 구성의 일반화이다.