[논문 리뷰] Higgs bundles, Lagrangians and mirror symmetry

Lucas C. Branco|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 11

한 줄 요약

이 학위논문은 비단순 스펙트럼 곡선을 통해 힉스(bundle)와 미러 대칭을 연구하며, 특히 SU*(2m), SO*(4m), Sp(m,m)의 실수 형태에 초점을 맞춘다. 일반화된 선다발의 리본 위에서 힉스의 섬유를 이중적 기술로 기술하고, 랭글랜즈 쌍대 모듈리 공간에서 BBB 브레인의 미러 쌍대를 제안함으로써, 해밀턴 기하학과 스펙트럼 자료를 통해 기하학적 랭글랜즈 프로그램을 발전시킨다.

ABSTRACT

This thesis is dedicated to the study of certain loci of the Higgs bundle moduli space on a compact Riemann surface. Motivated by mirror symmetry, we give a detailed description of the fibres of the $G$-Hitchin fibration containing $G_0$-Higgs bundles for the real forms $G_0 = SU^*(2m)$, $SO^*(4m)$ and $Sp(m,m)$ of $G = SL(2m,\mathbb{C})$, $SO(4m,\mathbb{C})$ and $Sp(4m,\mathbb{C})$, respectively. The spectral curves associated to these fibres are examples of ribbons and our description is done in two different ways, one in term of objects on the reduced scheme associated to the spectral curve, while the other in terms of the (non-reduced) spectral curve. A link is provided between the two approaches. We use this description to give a proposal for the support of the dual BBB-brane inside the moduli space of Higgs bundles for the Langlands dual group of $G$, corroborating the conjectural picture. In the second part of the thesis we discuss Gaiotto Lagrangian subvarieties inside the moduli spaces of $G$-Higgs bundles, where $G$ is a complex reductive group. These Lagrangians are obtained from a symplectic representation of $G$ and we discuss some of its general properties. We then focus our attention to the Gaiotto Lagrangian for the standard representation of the symplectic group. This is an irreducible component of the nilpotent cone for the symplectic Hitchin fibration. We describe this component by using the usual Morse function on the Higgs bundle moduli space restricted to the Lagrangian in question. Lastly, we discuss natural questions and applications of the ideas developed in this thesis. In particular, we say a few words about the hyperholomorphic bundle, how to generalize the Gaiotto Lagrangian to vector bundles which admit many sections and give an analogue of the Gaiotto Lagrangian for the orthogonal group.

연구 동기 및 목표

• 비단순 스펙트럼 곡선을 통해 재수도 그룹의 실수 형태, 특히 SU*(2m), SO*(4m), Sp(m,m)에 대한 힉스의 섬유의 구조를 이해하기 위해.
• 리본 위의 일반화된 선다발과 그 감소된 스킴을 이용하여 이러한 섬유의 이중적 기술을 개발하기 위해.
• 랭글랜즈 쌍대 그룹의 힉스(bundle) 모듈리 공간에서 BBB 브레인의 미러 쌍대를 제안하기 위해.
• 특히 심플렉틱 그룹에 대해, 심플렉틱 힉스(bundle) 모듈리 공간 내의 가이오토 라그랑주 부분다양체를 연구하기 위해.
• 벡터 다발에 여러 개의 절단을 갖는 경우와 올리고닉 그룹에 대해 가이오토 구성의 일반화를 위해.

제안 방법

• 힉스의 섬유화와 BNR 대응을 이용하여, 힉스(bundle)를 스펙트럼 곡선 위의 일반화된 선다발과 연결한다.
• 비단순 곡선인 리본 이론을 적용하여 실수 형태, 특히 SU*(2m)의 스펙트럼 자료를 묘사한다.
• 리본 위의 일반화된 선다발에서 감소된 곡선으로의 노름 사상(노름 함수)을 이용해 안정성과 섬유 구조를 분석한다.
• 힉스 필드의 노름 제곱을 통한 모스 이론을 적용하여 심플렉틱 경우의 가이오토 라그랑주를 기술한다.
• 특히 심플렉틱 그룹의 표준 표현에 초점을 맞춰, G의 심플렉틱 표현으로부터 가이오토 라그랑주를 구성한다.
• 시몬프슨의 콪팩티피케이션 임제이안 이론과 일반화된 임제이안 이론을 적용하여, 영점의 근원의 구성요소를 묘사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비단순 스펙트럼 곡선을 통해 실수 형태 SU*(2m), SO*(4m), Sp(m,m)의 힉스 섬유는 어떻게 묘사될 수 있는가?
• RQ2 힉스(bundle)의 맥락에서, 리본 위의 일반화된 선다발 기술과 감소된 스펙트럼 곡선 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 심플렉틱 힉스의 섬유에서 가이오토 라그랑주가 영점의 근원의 기약 성분으로서 어떻게 나타나는가?
• RQ4 랭글랜즈 쌍대 그룹의 힉스(bundle) 모듈리 공간에서 BBB 브레인의 제안된 미러 쌍대는 무엇인가?
• RQ5 가이오토 구성은 다수의 절단을 갖는 벡터 다발과 올리고닉 그룹으로 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• SU*(2m)에 대한 힉스의 섬유는 리본 위의 일반화된 선다발의 모듈리 공간으로 묘사되며, 비단순 곡선과 감소된 곡선 기술 간의 정확한 연결 고리가 확립된다.
• SU*(2m)의 경우, 섬유가 스펙트럼 곡선의 콩팩티피케이션 임제이안과 동형임이 입증되었으며, 이중성 그림에서 노름 사상이 중심적인 역할을 한다.
• 심플렉틱 그룹의 경우, 가이오토 라그랑주가 힉스 필드의 최대 질량을 갖는 영점의 근원의 기약 성분으로 나타나며, 모듈리 공간 위의 모스 함수를 통해 특징지어진다.
• 이 구성은 랭글랜즈 쌍대 모듈리 공간에서 이중 BBB 브레인의 지지체를 구체적으로 제안하며, 스펙트럼 자료와 실수 형태의 이중성에 기반한다.
• Sp(2m,C)의 표준 표현에 대한 가이오토 라그랑주는 영점의 근원의 기약 성분임이 입증되었으며, 힉스 필드의 노름 제곱을 통해 그 구조가 분석되었다.
• 논문은 가이오토 라그랑주를 다수의 절단을 갖는 벡터 다발로 일반화하고, 올리고닉 그룹에 대한 유사한 구성도 제안하여, 심플렉틱 경우를 넘어서는 프레임워크를 확장한다.