[논문 리뷰] High Dimensional Combinatorial Random Walks and Colorful Expansion.

Tali Kaufman, David Mass|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 11.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단체 복합체에서 i차원 면들이 공통의 (i+1)-차원 면을 공유하는 경우에 전이되는 고차원 조합적 랜덤 워크를 제안한다. 이 복합체의 링크에서의 스펙트럴 확장성은 색다른 확장을 암시하며, 이는 랜덤 워크의 빠른 혼합을 보장한다. 또한 이 수렴이 발생하는 명시적인 유한 차수의 복합체를 구성한다.

ABSTRACT

Random walks on expander graphs have been extensively studied. We define a high order combinatorial random walk on high dimensional simplicial complexes. This walk moves at random between neighboring i-dimensional faces (e.g. edges) of the complex, where two i-dimensional faces are considered neighbors if they share a common (i + 1)-dimensional face (e.g. a triangle). We prove that if the links of the complex are good spectral expanders, then the high order combinatorial random walk converges quickly. We derive our result about the convergence of the high order random walk by defining a new notion of high dimensional combinatorial expansion of a complex, which we term colorful expansion. We show that spectral expansion of the links of the complex imply colorful expansion of the complex, which in turn implies fast convergence of the high order random walk. We further show the existence of bounded degree high dimensional simplicial complexes which satisfy our criterion, and thus form an explicit family of high dimensional simplicial complexes in which the high order random walk converges rapidly. Our high order combinatorial random walk is different than the high order topological random walk that has recently been defined in [PR]. The topological random walk is associated with the concentration of the spectrum of the high order laplacian on the space that is orthogonal to the coboundaries, while we, in a sense, need to argue about the concentration of the spectrum on the space that is orthogonal to the constant functions, which is a much larger space.

연구 동기 및 목표

• 그래프에서의 고전적 랜덤 워크를 일반화하는 새로운 고차원 단체 복합체에서의 랜덤 워크를 정의하는 것.
• 고차원 복합체에서의 빠른 혼합 랜덤 워크 부족 문제를 해결하기 위해 새로운 확장 기준을 도입하는 것.
• 복합체의 링크의 스펙트럴 성질과 고차원 랜덤 워크의 수렴 속도 사이의 관계를 수립하는 것.
• 빠른 혼합 랜덤 워크를 보장하는 명시적인 유한 차수의 고차원 복합체 가족을 구성하는 것.

제안 방법

• 공통의 (i+1)-차원 면을 공유하는 이웃한 i-면들 사이를 이동하는 고차원 조합적 랜덤 워크를 정의한다.
• 단체 복합체에 대한 새로운 조합적 확장 성질로 '색다른 확장'을 도입한다.
• 복합체의 링크에서의 스펙트럴 확장성이 복합체의 색다른 확장성을 암시함을 증명한다.
• 색다른 확장성이 고차원 조합적 랜덤 워크의 빠른 혼합을 이끌어냄을 보인다.
• 링크의 스펙트럴 갭 추정치를 사용하여 워크의 수렴 한계를 유도한다.
• 스펙트럴 링크 조건을 만족하는 명시적인 유한 차수의 단체 복합체를 구성하여 빠른 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복합체의 국소 스펙트럴 성질에 의해 결정되는 수렴 속도를 갖는 고차원 단체 복합체에서의 랜덤 워크를 정의할 수 있는가?
• RQ2 어떤 조합적 확장 성질이 이러한 고차원 워크의 빠른 혼합을 보장하는가?
• RQ3 복합체의 링크의 스펙트럴 성질이 복합체의 전반적 확장 행동과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 이러한 고차원 랜덤 워크가 빠르게 혼합하는 명시적, 유한 차수의 고차원 복합체 가족이 존재하는가?
• RQ5 이 고차원 조합적 워크는 라플라스 스펙트럼에 기반한 위상적 랜덤 워크와 행동과 분석 면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 단체 복합체의 링크에서의 스펙트럴 확장성은 복합체의 색다른 확장성을 암시한다.
• 색다른 확장성은 고차원 조합적 랜덤 워크의 빠른 혼합을 보장한다.
• 워크의 수렴 속도는 전반적 라플라스 스펙트럼이 아닌 링크의 스펙트럴 갭에 의해 결정된다.
• 스펙트럴 링크 조건을 만족하고 빠른 혼합 워크를 지원하는 명시적인 유한 차수의 고차원 단체 복합체 가족이 존재한다.
• 고차원 조합적 워크는 상수 함수의 직교 보완 위에서 작동하므로 위상적 랜덤 워크와 본질적으로 다릅니다. 이는 코바운더리 위에서 작동하지 않습니다.
• 분석 프레임워크는 이전의 위상적 랜덤 워크 모델보다 더 넓은 공간 클래스에 적용 가능하며, 고차원 확장성과 샘플링 분야에서 새로운 응용 가능성을 열어줍니다.