[논문 리뷰] High-Dimensional Uncertainty Quantification of Electronic and Photonic IC with Non-Gaussian Correlated Process Variations

Chunfeng Cui, Zheng Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 31.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 63인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전자 및 광전자 통합회로(IC)에 대한 고차원 불확실성 정량화(UQ) 프레임워크를 제안하며, 비정규분포로 관련된 공정 변동성을 다룹니다. 텐서 기반의 부드럽고 정규직교 기저 함수의 구성과 적응형 샘플링을 사용하는 희소 해법을 통해 몬테카를로 방법 대비 수천 배 빠른 성능을 달성하면서도, 다중 피크를 가진 복잡한 출력 분포를 정확하게 포착합니다.

ABSTRACT

Uncertainty quantification based on generalized polynomial chaos has been used in many applications. It has also achieved great success in variation-aware design automation. However, almost all existing techniques assume that the parameters are mutually independent or Gaussian correlated, which is rarely true in real applications. For instance, in chip manufacturing, many process variations are actually correlated. Recently, some techniques have been developed to handle non-Gaussian correlated random parameters, but they are time-consuming for high-dimensional problems. We present a new framework to solve uncertainty quantification problems with many non-Gaussian correlated uncertainties. Firstly, we propose a set of smooth basis functions to well capture the impact of non-Gaussian correlated process variations. We develop a tensor approach to compute these basis functions in a high-dimension setting. Secondly, we investigate the theoretical aspect and practical implementation of a sparse solver to compute the coefficients of all basis functions. We provide some theoretical analysis for the exact recovery condition and error bound of this sparse solver in the context of uncertainty quantification. We present three adaptive sampling approaches to improve the performance of the sparse solver. Finally, we validate our methods by synthetic and practical electronic/photonic ICs with 19 to 57 non-Gaussian correlated variation parameters. Our approach outperforms Monte Carlo by thousands of times in terms of efficiency. It can also accurately predict the output density functions with multiple peaks caused by non-Gaussian correlations, which are hard to capture by existing methods.

연구 동기 및 목표

• IC 설계에서 고차원, 비정규분포로 관련된 공정 변동성에 대한 효율적인 불확실성 정량화 방법의 부족을 해결한다.
• 독립성 또는 정규분포로 관련된 가정을 내포한 기존의 확률 스펙트럼 방법의 한계를 극복한다.
• 정확성과 효율성을 유지하면서도 고차원 환경에서도 확장 가능한 프레임워크를 개발한다.
• 비정규분포로 관련된 상호작용으로 인해 발생하는 다중 피크를 가진 복잡한 출력 밀도 함수를 정확하게 예측할 수 있도록 한다.
• 고차원 매개변수 공간에서 적응형 샘플링과 희소 해법 기법을 통해 시뮬레이션 비용을 감소시킨다.

제안 방법

• 비정규분포로 관련된 불확실성을 모델링하기 위해 코レス키 분해를 통해 유도된 부드럽고 정규직교 기저 함수의 새로운 클래스를 제안한다.
• 고차원 매개변수 공간에서 기저 함수를 효율적으로 계산하기 위해 기능적 텐서 트레이스 분해를 사용한다.
• 복구 오차와 수렴에 대한 이론적 보장을 갖춘 ℓ₀-최소화 희소 해법을 구현한다.
• 유의미한 샘플을 선택하고 시뮬레이션 비용을 줄이기 위해 세 가지 적응형 샘플링 전략을 도입한다.
• 기저 함수의 정규직교성을 활용하여 출력 분포의 평균과 분산을 닫힌 형태로 계산할 수 있도록 한다.
• 압축 측정 이론을 적용하여 최소한의 샘플 수로 안정적이고 정확한 계수 복구를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 IC 설계에서 비정규분포로 관련된 공정 변동성을 일반화된 다항식 히어라키컬 방법으로 정확히 모델링할 수 있는가?
• RQ2 고차원, 비정규분포로 관련된 랜덤 매개변수에 대해 기저 함수를 효율적이고 확장 가능한 방식으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 적응형 샘플링을 통한 희소 해법이 고차원 UQ 문제에서 높은 정확도를 달성하면서도 시뮬레이션 비용을 크게 줄일 수 있는가?
• RQ4 제안된 프레임워크는 기존 방법이 어려워하는 다중 피크를 가진 복잡한 출력 분포를 얼마나 잘 포착하는가?
• RQ5 이 맥락에서 희소 해법의 정확성과 수렴에 대해 어떤 이론적 보장을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 프레임워크는 19에서 57개의 변동 매개변수를 가진 전자 및 광전자 IC에서 몬테카를로 시뮬레이션 대비 1,000배 이상의 속도 향상을 달성한다.
• 기존 방법이 비정규분포로 관련된 상호작용으로 인해 어려워하는 다중 피크를 가진 출력 밀도 함수를 정확하게 포착한다.
• 이론적 분석을 통해 (s, κs)-RIP 조건 하에서 정확한 복구 조건과 오차 한계를 확인한다.
• 적응형 샘플링 전략은 필요한 시뮬레이션 수를 줄여 희소 해법의 성능을 크게 향상시킨다.
• 텐서 기반 기저 함수 계산 기법은 이전 방법이 다룰 수 없었던 고차원 문제의 스케일러블한 처리를 가능하게 한다.
• 비정규분포(예: 정규분포 혼합분포 및 감마분포)를 따르는 매개변수 조건에서도 높은 정확도를 유지한다.