[논문 리뷰] HIGH DIMENSIONAL WILKS PHENOMENA IN RANDOM GRAPH MODELS

Ting Yan, Jinfeng Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 30.

Random Matrices and Applications참고 문헌 28인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 정점 수가 증가하는 동안 각 간선당 시도 수가 고정된 고차원 무작위 그래프 모델—특히 Erdős–Rényi (p-model) 및 Bradley-Terry 모델—에서의 우도비 검정에 대해 Wilks 유형의 점근적 카이제곱 분포를 수립한다. 주요 기여는 차원 수가 증가하는 무작위 그래프 설정으로 고전적인 Wilks 결과를 확장한 것으로, 시뮬레이션과 실제 데이터 응용을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

In the classical parametric hypothesis testing problems, the asymptotical null distribution of minus twice log-likelihood ratio test converges to the chi-square distribution independent of redundant parameters due to Wilks (1938). This phenomena is not monopolized by fixed dimension problems. Several authors derived similar results for some models when both the sample size and the number of parameters go to infinity simultaneously. In this paper, we show Wilks type of theorems in simple random graph models, which are known as the �-model in the undirected case and the Bradley-Terry model in the directed case, when the number of graphic vertices goes to infinity and the number of statistical experiments for each edge is a fixed constant. Numerical studies and a data application are carried out to demonstrate the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 우도비 검정 통계량이 점근적으로 카이제곱 분포를 따르는 Wilks 현상이 고차원 무작위 그래프 모델에서 성립하는지 조사하는 것.
• 각 간선당 실험 시도 수가 일정한 동안 정점 수와 모수 수가 모두 무한대로 증가할 때 우도비 검정의 행동을 검토하는 것.
• 고정된 차원 수를 가진 파라미터 모델에서의 고전적 Wilks 유형 결과를 증가하는 차원 수를 가진 무작위 그래프 모델으로 일반화하는 것.
• 수치적 시뮬레이션과 실제 데이터 응용을 통해 이론적 결과를 검증하는 것.

제안 방법

• 정점 수 n → ∞ 이며 각 간선당 독립적인 시도 수가 고정된 고차원 점근적 설정에서 p-모델(무방향 무작위 그래프 모델)과 Bradley-Terry 모델(유방향 무작위 그래프 모델)의 우도비 검정 통계량을 분석한다.
• 정점 수 n → ∞ 이며 각 간선당 시도 수가 고정된 설정에서 파라미터 수가 증가하는 상황을 고려한다.
• 귀무가설 하에서 로그우도비 통계량의 점근적 분포를 유도하여 카이제곱 분포로 수렴함을 보인다.
• 무작위 그래프의 점근적 이론을 활용하여 차원 수가 증가하는 모델에서 Wilks 유형 성질을 수립한다.
• 수렴이 카이제곱 분포로 이루어지는 것을 보여주기 위해 수치적 시뮬레이션을 수행한다.
• 실제 데이터 세트에 방법을 적용하여 실용적 관련성과 경험적 타당성을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우도비 검정 통계량이 카이제곱 분포로 수렴하는 Wilks 현상이 고차원 무작위 그래프 모델에서 성립하는가?
• RQ2 정점 수가 증가하고 각 간선당 시도 수가 고정된 경우 로그우도비의 점근적 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 고차원 점근적 설정 하에서 고전적 Wilks 정리가 p-모델과 Bradley-Terry 모델로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이러한 모델에서 유한 표본에서의 우도비 검정의 경험적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• p-모델과 Bradley-Terry 모델에서의 우도비 검정 통계량은 귀무가설 하에서 정점 수가 무한대가 되어도 점근적으로 카이제곱 분포를 따른다.
• 각 간선당 시도 수가 고정되어 있는 한 파라미터 수가 증가하더라도 카이제곱 분포로의 수렴이 유지된다.
• 수치적 연구는 정점 수가 증가함에 따라 유한 표본에서 통계량 분포가 카이제곱 분포에 매우 잘 근사함을 확인한다.
• 실제 데이터 응용은 이론적 결과가 실세계 네트워크 데이터에 경험적으로 적용 가능하다는 것을 보여준다.
• 결과는 고정된 차원 수를 가진 모델을 초월해 증가하는 차원 수를 가진 무작위 그래프 모델로 Wilks의 고전적 정리를 확장한다.
• 이론적 프레임워크는 점근적 성질이 유효한 고차원 네트워크 추론에서 우도비 검정을 사용하는 데를 지원한다.