[논문 리뷰] High Energy Solutions to $p(x)-$Laplacian Equations of Schrödinger type

Liu, Duchao, Wang, Xiaoyan외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 변수 지수 소볼레프 공간 프레임워크 내에서 $p(x)$-라플라스 슈뢰딩거 유형 방정식에 대해 고에너지 해의 수열이 존재함을 증명한다. 가족 형태의 함수들 및 포인트 테오럼을 사용하여, 유한성 팔라이스-스마프리 시퀀스를 보장하기 위해 비선형성에 대한 새로운 가정을 도입함으로써, 이러한 시퀀스가 임계점으로 수렴함을 증명한다. 결과적으로 무한히 많은 고에너지 해를 확보한다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger type equations in $R^N$ under the framework of variable exponent spaces. We propose new assumptions on the nonlinear term to yield bounded Palais-Smale sequences and then prove the special sequences we find converge to critical points respectively. The main arguments are based on the geometry supplied by Fountain Theorem. Consequently, we show that the equation has a sequence of solutions with high energies.

연구 동기 및 목표

• 변수 지수 소볼레프 공간 프레임워크 내에서 $\mathbb{R}^N$ 에서 $p(x)$-라플라스 슈뢰딩거 유형 방정식에 대해 무한히 많은 고에너지 해의 존재를 확립한다.
• 비유한 영역에서의 컴팩트성 부족 문제를 해결하기 위해 비선형성 $f(x,u)$ 에 대한 새로운 구조적 가정을 도입한다.
• 원래 에너지 함수와 관련된 함수족에 대해 유한성 팔라이스-스마프리 시퀀스의 존재를 보장한다.
• 변수 지수 소볼레프 공간에서 포인트 테오럼을 적용하여 고에너지 해에 해당하는 임계 수준를 식별한다.
• 특정 팔라이스-스마프리 시퀀스가 원래 함수 $\Phi$ 의 실제 임계점으로 수렴함을 증명한다.

제안 방법

• 에너지 공간 $E = \{u \in W^{1,p(x)}(\mathbb{R}^N) : \int_{\mathbb{R}^N} V(x)|u|^{p(x)}dx < \infty\}$ 를 정의하며, 이는 $|Du|^{p(x)}$ 와 $V(x)|u|^{p(x)}$ 를 포함하는 노름을 갖는다.
• 비선형성 $f(x,u)$ 를 스케일링하는 매개수 $\lambda \in [1,2]$ 를 사용해 함수족 $\Phi_{\lambda}(u)$ 를 구성한다.
• 포인트 테오럼 프레임워크를 활용해 고에너지 해에 대응하는 임계 수준 $c_k$ 의 수열을 식별한다.
• 모든 $(PS)_{c_k}$ 시퀀스가 유한함을 보장하기 위해 $f(x,u)$ 에 대해 (C1)-(C4)의 구조적 가정을 도입한다.
• $\Phi_{\lambda_n}$ 에 대해 유한성 $(PS)_{c_k}$ 시퀀스가 원래 함수 $\Phi$ 의 임계점으로 강한 수렴을 보임을 증명한다.
• 변수 지수 공간 내에서 콤팩트 임bedding 정리와 파투의 보조정리를 적용하여, 약한 극한이 0이 되는 경우에 모순을 도출함으로써 비자명한 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성 $f(x,u)$ 가 어떤 조건을 만족할 경우 $\mathbb{R}^N$ 에서의 $p(x)$-라플라스 슈뢰딩거 방정식이 고에너지 해의 수열을 가질 수 있는가?
• RQ2 변수 지수 공간 내에서 $p(x)$-라플라스 방정식과 관련된 에너지 함수에 대해 어떻게 유한성 팔라이스-스마프리 시퀀스를 구성할 수 있는가?
• RQ3 비선형성 $f(x,u)$ 에 대해 어떤 구조적 가정이 함수족의 팔라이스-스마프리 시퀀스가 원래 함수의 임계점으로 수렴함을 보장하는가?
• RQ4 포인트 테오럼은 변수 지수 소볼레프 공간에서 효과적으로 적용되어 무한히 많은 고에너지 해를 도출할 수 있는가?
• RQ5 조건 $(V)$ 를 만족하는 잠재력 $V(x)$ 는 $E$ 가 $L^{q(x)}(\mathbb{R}^N)$ 에 임베딩될 때 컴팩트성을 복원하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 다음과 같은 방정식 $-\text{div}(|Du|^{p(x)-2}Du) + V(x)|u|^{p(x)-2}u = f(x,u)$ 는 $\mathbb{R}^N$ 에서 에너지가 무한히 증가하는 해의 수열 $\{u_n\}$ 을 가진다.
• 유한성 팔라이스-스마프리 시퀀스를 보장하는 새로운 가정 (C1)-(C4) 하에 이러한 고에너지 해의 존재가 확립된다.
• 방정식과 관련된 함수 $\Phi$ 는 포인트 테오럼이 요구하는 기하적 조건을 만족하며, 이로 인해 임계 수준 $c_k$ 를 식별할 수 있다.
• 각 $k$ 가 충분히 크면 특수한 유한성 $(PS)_{c_k}$ 시퀀스 $\{u^k(\lambda_n)\}$ 가 구성되며, 이는 원래 함수 $\Phi$ 의 임계점으로 강한 수렴을 보임이 증명된다.
• 에너지가 무한히 산산이 흩어지지 않도록 보장하기 위해 $\lambda_n \in [1,2]$ 이며, 파투의 보조정리를 사용한 모순 추론을 통해 수렴이 보장된다.
• 조건 $(V)$: $V(x) \geq V_0 > 0$ 이며, 모든 $M > 0$ 에 대해 $\{x : V(x) \leq M\}$ 이 유한한 측도를 갖는 조건을 만족할 경우 결과가 성립하며, 이는 변수 지수 공간 내에서 콤팩트 임베딩을 가능하게 한다.