[논문 리뷰] High frequency homogenization of bubbly crystals

Habib Ammari, Hyundae Lee외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 26.

Acoustic Wave Phenomena Research참고 문헌 27인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 빈도 높은 균질화를 증명함으로써 기포가 포함된 포논 결정에서 첫 번째 블로흐 고유값이 브릴루앙 영역의 모서리에서 최대가 됨을 규명하여, 고유함수를 천천히 변화하는 성분과 주기적인 성분으로 엄밀하게 분해할 수 있도록 한다. 이는 임계 주파수 근처에서 음파의 슈퍼포커싱을 확인하고, 그 위에서 금속역개가 열리는 것을 정당화하며, 이전의 미세한 스케일 금속역개 결과를 희석하지 않은 영역으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the high-frequency homogenization of bubbly phononic crystals. It is a follow-up of the works [H. Ammari et al., Sub-wavelength phononic bandgap opening in bubbly media, J. Diff. Eq., 263 (2017), 5610--5629] which shows the existence of a sub-wavelength band gap. This phenomena can be explained by the periodic inference of cell resonance which is due to the high contrast in both the density and bulk modulus between the bubbles and the surrounding medium. In this paper, we prove that the first Bloch eigenvalue achieves its maximum at the corner of the Brillouin zone. Moreover, by computing the asymptotic of the Bloch eigenfunctions in the periodic structure near that critical frequency, we demonstrate that these eigenfunctions can be decomposed into two parts: one part is slowly varying and satisfies a homogenized equation, while the other is periodic across each elementary crystal cell and is varying. They rigorously justify, in the nondilute case, the observed super-focusing of acoustic waves in bubbly crystals near and below the maximum of the first Bloch eigenvalue and confirm the band gap opening near and above this critical frequency.

연구 동기 및 목표

• 기존의 기포 매질에서의 미세한 스케일 금속역개 결과를 희석하지 않은 영역으로 확장하기 위해.
• 브릴루앙 영역의 모서리에서 첫 번째 블로흐 고유값의 행동과 그 최대값의 위치를 분석하기 위해.
• 임계 주파수 근처에서 블로흐 고유함수를 균질화된 성분과 주기적인 성분으로 엄밀하게 분해하기 위해.
• 점진적 분석을 통해 기록된 기포 결정에서의 음파 슈퍼포커싱 현상을 정당화하기 위해.
• 고주파 균질화 기법을 사용하여 임계 주파수 근처 및 그 위에서 금속역개가 열리는지를 확인하기 위해.

제안 방법

• 주기적 구조의 스펙트럼 분석을 통해 첫 번째 블로흐 고유값이 브릴루앙 영역의 모서리에서 최대가 됨을 증명하기 위해.
• 임계 주파수 근처에서 블로흐 고유함수의 점진적 전개를 수행하여, 천천히 변화하는 균질화된 부분과 급격히 진동하는 주기적 부분으로 분리하기 위해.
• 고주파 균질화를 통해 고유함수의 천천히 변화하는 성분이 만족하는 극한 방정식을 유도하기 위해.
• 주기적 전개 방법과 일치하는 점진적 전개를 적용하여 미세 척도와 거시 척도 간의 전이를 포착하기 위해.
• 기포와 매트릭스 사이의 밀도 및 부피모odulus 간의 극도로 높은 대비를 활용하여 강한 산산이 흩어짐 효과를 모델링하기 위해.
• 희석하지 않은 경우에 대해 점진적 분해의 엄밀한 오차 추정을 수립하여 수렴성을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기포가 포함된 포논 결정에서 첫 번째 블로흐 고유값의 최대값은 브릴루앙 영역의 어디에 위치하는가?
• RQ2 희석하지 않은 영역에서 임계 주파수 근처에서 블로흐 고유함수는 어떻게 점진적으로 분해되는가?
• RQ3 블로흐 고유값 최대값 근처에서 기포 결정에서 음파의 슈퍼포커싱 현상의 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 고주파 균질화 프레임워크는 임계 주파수 근처 및 그 위에서 금속역개가 열리는 것을 어떻게 설명하는가?
• RQ5 관측된 미세한 스케일 금속역개는 점진적 분석을 통해 희석한 극한에서 엄밀하게 정당화될 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 블로흐 고유값은 브릴루앙 영역의 모서리에서 최대가 되며, 이는 음파 국소화를 위한 임계 주파수를 확인한다.
• 임계 주파수 근처에서 블로흐 고유함수는 천천히 변화하는 균질화된 부분과 주기적 성분으로 분해되며, 이는 효과적인 거시적 모델링을 가능하게 한다.
• 균질화된 부분은 고주파 균질화를 통해 유도된 극한 방정식을 만족하며, 이는 효과적인 파동 행동을 포착한다.
• 점진적 분해는 임계 주파수 최대값 근처에서 관측된 음파 슈퍼포커싱을 엄밀하게 정당화한다.
• 금속역개가 임계 주파수 근처 및 그 위에서 열리는 것이 확인되었으며, 실험 관측 결과 및 이전의 미세한 스케일 금속역개 결과와 일치한다.
• 분석은 희석하지 않은 영역에서도 유효하며, 이는 이전에 희석된 구성에 국한된 결과를 확장한다.