[논문 리뷰] High-frequency sampling of multivariate CARMA processes

Péter Kevei|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 11.

Advanced Statistical Process Monitoring참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다변량 연속시간 자기회귀이동평균(MCARMA) 과정의 고주파수 샘플링을 조사하며, 샘플 간격 Δ가 0에 접근할 때 스펙트럼 밀도의 점근 전개를 유도한다. 적절히 필터링된 샘플링된 과정이 벡터 이동평균 과정으로 수렴함을 보이며, 단변량 결과를 다변량으로 일반화하고 고주파수 데이터 분석을 위한 접근 가능한 근사치를 제공한다.

ABSTRACT

High-frequency sampled multivariate continuous time autoregressive moving average processes are investigated. We obtain asymptotic expansion for the spectral density of the sampled MCARMA process $(Y_{nΔ})_{n \in \mathbb{Z}}$ as $Δ\downarrow 0$, where $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}}$ is an MCARMA process. We show that the properly filtered process is a vector moving average process, and determine the asymptotic moving average representation of it, thus generalizing the results by Brockwell et al. in the univariate case to the multivariate model. The determination of the moving average representation of the filtered process, important for the analysis of high-frequency data, is difficult for any fixed positive $Δ$. However, the results established here provide a useful and insightful approximation when $Δ$ is very small.

연구 동기 및 목표

• 샘플 간격 Δ → 0 일 때 이산적으로 샘플링된 다변량 CARMA 과정의 스펙트럼 밀도의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 단변량 CARMA 과정의 고주파수 샘플링 결과를 다변량 설정으로 일반화하는 것.
• 필터링된 샘플링된 과정의 점근적 이동평균 표현을 도출하여 고주파수 데이터의 실용적 분석을 가능하게 하는 것.
• 고정된 Δ > 0 에서 정확한 계산이 곤란한 상황에서 Δ 가 작지만 양수일 때 이동평균 표현에 대한 엄밀한 근사 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 상태공간 표현과 Lévy 유도 스토케스틱 미분방정식을 사용하여 샘플링된 MCARMA 과정 (Y_{nΔ})_{n∈ℤ} 의 스펙트럼 밀도를 유도한다.
• Δ ↓ 0 일 때 스펙트럼 밀도에 점근 전개 기법을 적용하며, 주로 주요 항에 집중한다.
• 전달 함수 g(t) = ∫ e^{i t x} P(ix)^{-1} Q(ix) dx 를 이용한 MCARMA 과정의 스펙트럼 표현을 사용한다.
• 스펙트럼 밀도의 점근적 행동과 전달 함수의 구조를 분석하여, 필터링된 과정이 벡터 이동평균 과정으로 수렴함을 입증한다.
• 체비셰프 다항식과 오일러 다항식을 사용하여 점근 전개의 계수를 특성화한다.
• 일반화된 오일러 다항식의 근을 이용한 스펙트럼 밀도의 인수분해를 도입하고, 근이 복소수일 경우에도 복소수 켤레 대칭성 덕분에 실수 계수를 갖는 실수값 인수분해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Δ → 0 일 때 고주파수로 샘플링된 다변량 CARMA 과정의 점근적 스펙트럼 밀도는 무엇인가?
• RQ2 필터링된 샘플링된 과정은 점근적으로 어떻게 행동하며, 이를 벡터 이동평균 과정으로 표현할 수 있는가?
• RQ3 필터링된 과정의 점근적 이동평균 표현은 무엇이며, 이는 단변량 결과를 다변량으로 어떻게 일반화하는가?
• RQ4 스펙트럼 밀도 전개의 주요 항은 실수 계수를 갖는 이동평균 표현에 해당하는 항들의 곱으로 인수분해될 수 있는가?
• RQ5 관련 다항식의 근이 실수인 조건는 무엇이며, 이는 스펙트럼 밀도의 인수분해에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 샘플링된 MCARMA 과정의 스펙트럼 밀도는 Δ ↓ 0 일 때 점근 전개를 갖으며, 주요 항은 Δ^{2(p−q)−1} (1−cos ω)^{pd} 와 삼각함수의 곱에 비례한다.
• 필터링된 과정은 분포 수렴을 통해 벡터 이동평균 과정으로 수렴하며, 점근적 이동평균 표현이 명시적으로 도출되었다.
• 점근 전개의 주요 계수는 시스템 행렬 A 의 고유값의 곱과 오일러 다항식 계수에 의해 결정된다.
• 스펙트럼 밀도를 (1−cos ω − ξ_j) 를 포함하는 항들로 인수분해함으로써, 근 ξ_j 가 복소수일지라도 켤레 대칭성 덕분에 실수값 이동평균 표현이 가능해진다.
• Δ 가 작을 경우 실용적인 근사치를 제공하며, 이는 고정된 Δ > 0 에서는 해석이 곤란한 경우에 유용하다.
• 논문은 일반화된 오일러 다항식의 근 ξ_{2k−1,j} 가 실수이자 2보다 크다는 것을 추측하며, 이 경우 η(ξ_j) 도 실수이므로 인수분해에 실수 계수를 갖게 된다.