[논문 리뷰] High-order accurate implicit methods for the pricing of barrier options

J. C. Ndogmo, Davis Bundi Ntwiga|ArXiv.org|2007. 09. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 바리어 옵션 가격 설정을 위한 고차 정확도의 음성 유한차분 스킴을 제안하며, 사차 정확도의 공간 해석과 확률 기반 최적 경계 조건 결정 방식을 결합한다. 이 방법은 특히 이산적으로 모니터링되는 바리어에 대해 뛰어난 속도와 정확도를 달성하여, 반분석 기준값과 가장 가까운 값을 생성한다. 대부분의 경우 계산 시간이 1.2초 이내이며, 가장 복잡한 구성조차도 5초 이내로 유지된다.

ABSTRACT

This paper deals with a high-order accurate implicit finite-difference approach to the pricing of barrier options. In this way various types of barrier options are priced, including barrier options paying rebates, and options on dividend-paying-stocks. Moreover, the barriers may be monitored either continuously or discretely. In addition to the high-order accuracy of the scheme, and the stretching effect of the coordinate transformation, the main feature of this approach lies on a probability-based optimal determination of boundary conditions. This leads to much faster and accurate results when compared with similar pricing approaches. The strength of the present scheme is particularly demonstrated in the valuation of discretely monitored barrier options where it yields values closest to those obtained from the only semi-analytical valuation method available.

연구 동기 및 목표

• 재산 수익, 배당금, 이중 바리어를 포함한 다양한 유형의 바리어 옵션을 위한 고차 정확도 수치 해법을 개발하는 것.
• 특히 이산적으로 모니터링되는 바리어 옵션에 대해 기존의 유한차분 스킴의 계산 비효율성과 정확도 부족 문제를 해결하는 것.
• 정확도와 수렴성을 향상시키기 위해 정확한 옵션 값이 경계에서 유지되도록 보장하는 확률 기반 최적 결정 방법을 활용해 경계 조건 처리를 개선하는 것.
• 연속 및 이산 모니터링 모두에서 표준 스킴(예: Crank-Nicolson, 명시적, 완전 음성)에 비해 속도와 정확도 면에서 본 방법의 우수성을 입증하는 것.
• 이산적으로 모니터링되는 바리어 옵션에 대해 유일하게 제공되는 반분석 해법과의 검증을 통해 근사적으로 동일한 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• θ-메서드를 적용하여 메쉬 크기와의 관계를 통해 공간에서 사차 정확도, 시간에서 이차 정확도를 달성한다.
• 자산 가격 영역을 바라보는 계산 영역으로 변환하기 위해 좌표 변환을 적용하여, 바리어와 같은 중요한 영역 근처에서 해상도를 향상시킨다.
• 정확한 옵션 값이 경계에서 유지되도록 보장하는 확률 기반 최적 결정 방법을 활용해 경계 조건을 설정함으로써 정확도를 크게 향상시킨다.
• 비균일 메쉬를 사용한 변환된 x-τ 좌표계에서 방법을 구현하지만, x에 대한 균일 메쉬가 가장 우수한 결과를 도출했다.
• 단일 및 이중 퇴출형, 투자형, 배당금 지급 주식, 리베이트 지급 등의 다양한 바리어 유형을 처리하기 위해 스킴을 확장한다.
• 연속 및 이산 모니터링에 대한 수치 실험을 통해 검증하였으며, 고정밀도를 위해 최대 4000×6000의 메쉬 크기를 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 정확도의 음성 유한차분 스킴이 바리어 옵션 가격 설정에서 표준 스킴(예: Crank-Nicolson)에 비해 속도와 정확도 면에서 뛰어나게 작용할 수 있는가?
• RQ2 확률 기반 최적 경계 조건 결정 방법은 특히 이산적으로 모니터링되는 경우 바리어 옵션 평가의 정확도를 얼마나 향상시키는가?
• RQ3 제안된 방법이 분석적 해가 흔하지 않은 이산적으로 모니터링되는 바리어 옵션에 대해 반분석 수준의 정확도를 얼마나 근접하게 달성할 수 있는가?
• RQ4 좌표 변환과 고차 공간 이산화를 통해 계산 비용을 현저히 감소시키면서도 고정밀도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 리베이트, 배당금, 이중 바리어 등의 복잡한 기능을 갖춘 복잡한 바리어 옵션에 대해 이 방법이 효과적으로 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 연속 모니터링 케이스에서 계산 시간이 1.2초 이내였고, 가장 복잡한 이산 모니터링 옵션의 경우에도 5초 이내였으며, 특히 q=0.045인 이중 퇴출형 옵션의 경우 기록적인 4.20초를 기록했다.
• 이산적으로 모니터링되는 바리어 옵션에 대해, 본 방법은 유일한 반분석 기준값과 가장 가까운 값을 도출하였으며, 모든 테스트 케이스에서 절대값 기준 차이가 0.01 이내였다.
• 연속 모니터링에 대해 최소한의 20×20 메쉬로도 높은 정확도를 달성하여, 뛰어난 수렴성과 안정성을 입증하였다.
• 확률 기반 경계 조건 결정 방법은 특히 단일 바리어 및 이산적으로 모니터링되는 이중 바리어 옵션에서 정확도 향상에 크게 기여하였다.
• 변환된 좌표계에서의 비균일 메쉬는 성능 향상에 기여하지 않았으며, x좌표에서의 균일 메쉬가 가장 우수한 결과를 도출하여, 이 스킴에 있어서 변환된 공간에서의 메쉬 균일성이 최적임을 시사한다.
• 특히 이산 모니터링의 어려운 케이스에서 Crank-Nicolson, 명시적, 완전 음성 스킴에 비해 속도와 정확도 면에서 본 방법이 뛰어난 성능을 보였다.