[논문 리뷰] High order algorithms for Fokker-Planck equation with Caputo-Fabrizio fractional derivative

Minghua Chen, Jiankang Shi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 10.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Caputo-Fabrizio 분수도 미분을 갖는 Fokker-Planck 방정식을 위한 고차수 수치 알고리즘을 개발한다. 이는 연속적인 시간 랜덤 워크 기반과 분수도 상당 미분의 이산화 기법을 확장하여, 무조건적 안정성과 전역 절단 오차 𝒪(τ² + h²)를 달성하며, ν = 1,2,3,4에 대해 이론적·수치적으로 검증된다.

ABSTRACT

Based on the continuous time random walk, we derive the Fokker-Planck equations with Caputo-Fabrizio fractional derivative, which can effectively model a variety of physical phenomena, especially, the material heterogeneities and structures with different scales. Extending the discretizations for fractional substantial calculus [Chen and Deng, \emph{ ESAIM: M2AN.} extbf{49}, (2015), 373--394], we first provide the numerical discretizations of the Caputo-Fabrizio fractional derivative with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^ν)$ $ (ν=1,2,3,4)$. Then we use the derived schemes to solve the Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation. By analysing the positive definiteness of the stiffness matrices of the discretized Caputo-Fabrizio operator, the unconditional stability and the convergence with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+h^2)$ are theoretically proved and numerical verified.

연구 동기 및 목표

• 재료의 비균질성과 다중 척도 구조를 포함하는 복잡한 물리 현상을 Caputo-Fabrizio 분수도 미분을 갖는 Fokker-Planck 방정식을 통해 모델링하기 위해.
• 기존의 분수도 상당 미분에 대한 이산화 방법을 확장하여 Caputo-Fabrizio 미분에 대해 시간 기준 고차수 정확도를 달성하기 위해.
• 제안된 기법에 대한 무조건적 안정성과 수렴성의 이론적·수치적 검증을 수립하기 위해.
• 이산화된 Caputo-Fabrizio 연산자로부터 유도된 강성 행렬의 정규성(positive definiteness)을 분석하여 안정성 증명을 뒷받침하기 위해.

제안 방법

• 연속적인 시간 랜덤 워크 프레임워크에서 Caputo-Fabrizio 분수도 미분을 갖는 Fokker-Planck 방정식을 유도한다.
• Chen과 Deng(2015)의 분수도 상당 미분에 대한 고차수 이산화 기법을 적응 및 확장하여, Caputo-Fabrizio 미분에 적용하고, ν = 1,2,3,4에 대해 전역 절단 오차 𝒪(τ^ν)를 확보한다.
• 유도된 기법을 사용하여 Caputo-Fabrizio 분수도 확산 방정식을 수치적으로 해결한다.
• 이산화된 연산자로부터 유도된 강성 행렬을 분석하여, 정규성(positive definiteness)을 증명하고, 이는 안정성 분석의 기초가 된다.
• 이론적 분석을 통해 무조건적 안정성과 전역 오차 𝒪(τ² + h²) 수렴성을 확립한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하여 예측된 수렴 속도가 확인된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Caputo-Fabrizio 분수도 미분에 대해 고차수 시간 이산화 기법을 어떻게 구성할 수 있으며, 이는 Fokker-Planck 방정식 해결의 정확도를 향상시키는가?
• RQ2 Caputo-Fabrizio 분수도 확산 방정식에 대한 수치 기법의 무조건적 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 이산화된 Caputo-Fabrizio 연산자에 대해 강성 행렬의 정규성이 엄밀하게 증명될 수 있는가?
• RQ4 제안된 고차수 기법의 전역 수렴 속도는 무엇이며, 기존 방법과 비교해 볼 때 어떠한가?
• RQ5 수치 실험은 이론적 예측된 안정성과 수렴성에 얼마나 잘 부합하는가?

주요 결과

• 제안된 고차수 이산화 기법은 시간 기준 전역 절단 오차 𝒪(τ^ν)를 달성하며, ν = 1,2,3,4에 대해 이전의 분수도 상당 미분 연구를 확장한다.
• Caputo-Fabrizio 연산자로부터 유도된 강성 행렬은 정규성(positive definiteness)을 갖는 것으로 증명되었으며, 이는 무조건적 안정성의 이론적 근거를 제공한다.
• 이론적 분석을 통해 수치 기법의 무조건적 안정성이 확인되었으며, 이는 장기 시뮬레이션에 있어 중요한 성질이다.
• 기법의 수렴 속도는 엄밀히 𝒪(τ² + h²)로 증명되었으며, 시간적 및 공간적 요소가 오차에 기여한다.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도가 확인되어, 제안된 방법의 정확성과 견고성을 검증한다.
• 이 프레임워크는 Caputo-Fabrizio 분수도 미분을 통해 재료의 비균질성과 다중 척도 구조를 갖는 물리 시스템을 효과적으로 모델링할 수 있다.