[논문 리뷰] High-order Barrier Functions: Robustness, Safety and Performance-Critical Control

Xiao Tan, Wenceslao Shaw Cortez외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 31.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비선형 시스템에서 안전 영역의 전방 불변성과 점근적 안정성을 보장하기 위해 제로링 보행 함수를 고차수로 일반화한 고차수 제로링 보행 함수(HOZBFs)를 소개한다. 이 방법은 전방 완비성 조건이 필요 없으며, 사전에 설계된 노미널 제어 법칙을 안전 영역 내에서 사용하면서도 리프시츠 연속성과 특이점이 없는 제어 법칙을 통해 안전성을 보장함으로써 강건하고 성능 중심의 제어를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a notion of high-order (zeroing) barrier functions that generalizes the concept of zeroing barrier functions and guarantees set forward invariance by checking their higher order derivatives. The proposed formulation guarantees asymptotic stability of the forward invariant set, which is highly favorable for robustness with respect to model perturbations. No forward completeness assumption is needed in our setting in contrast to existing high order barrier function methods. For the case of controlled dynamical systems, we relax the requirement of uniform relative degree and propose a singularity-free control scheme that yields a locally Lipschitz control signal and guarantees safety. Furthermore, the proposed formulation accounts for "performance-critical" control: it guarantees that a subset of the forward invariant set will admit any existing, bounded control law, while still ensuring forward invariance of the set. Finally, a non-trivial case study with rigid-body attitude dynamics and interconnected cell regions as the safe region is investigated.

연구 동기 및 목표

• 비선형 동역학 시스템에서 안전 영역의 전방 불변성과 점근적 안정성을 보장하는 고차수 보행 함수의 일반화된 프레임워크를 개발하는 것.
• 이전의 고차수 보행 함수 방법에서 요구되던 전방 완비성 가정을 제거하는 것.
• 제어 시스템에서 균일 상대 차수 조건을 완화하여 다양한 상대 차수를 가진 시스템에 적용 가능하게 하는 것.
• 안전 영역 내의 지정된 부분집합에서 사전에 설계된 노미널 제어 법칙을 그대로 사용할 수 있도록 성능 중심 제어를 통합하는 것.
• 특이점이 없고 국소 리프시츠 연속성 보장하는 제어 법칙을 도출하여 모델 변동에 대해 강건성을 유지하는 것.

제안 방법

• 확장된 클래스 $\mathcal{K}$ 함수를 사용하여 고차수 제로링 보행 함수(HOZBFs)의 새로운 정의를 제안함으로써, 이전의 선형 또는 클래스 $\mathcal{K}$ 함수 기반의 설정을 일반화한다.
• 원래의 제약 조건에 대해 잘라내는 함수(truncating function)를 도입하여 특이점이 없는 고차수 제어 보행 함수(HOCBF)를 구성함으로써 제어 법칙의 특이점을 피한다.
• 이차계획법을 통해 전방 불변성 보장과 함께 리프시츠 연속성을 유지하는 제어 법칙을 유도한다.
• 제로링 보행 함수에서 유래된 강건성 성질을 계승하는 리아푸노프 유사 추론을 통해 전방 불변 집합의 점근적 안정성을 확립한다.
• 노미널 제어 신호가 그대로 적용되는 성능 중심 영역을 정의하며, 상태가 안전 영역의 부분집합 내에 있을 경우에만 적용된다.
• 지오데식 거리 기반 보행 함수와 조각별 정의된 활성화 함수 $\chi(v)$를 사용하여 강체 자세 동역학에 이 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전방 완비성 조건이 필요 없이도 고차수 보행 함수를 정의할 수 있을까? 이 경우에도 안전 영역의 전방 불변성과 점근적 안정성이 보장되는가?
• RQ2 기존의 고차수 보행 함수 방법에서 요구되는 균일 상대 차수 가정은 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ3 특이점이 없고 국소 리프시츠 연속성 보장하는 제어 법칙을 유도하여 안전성을 확보하면서도 성능 중심 영역에서의 노미널 제어 입력을 유지할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크는 기존에 유계인 제어 법칙을 안전 영역 내에서 통합하면서도 안전성을 훼손하지 않게 확장할 수 있는가?
• RQ5 이러한 제안된 설정이 고상대 차수 제약 조건을 가진 비선형 시스템에서 강건성과 성능에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 고차수 보행 함수의 초수준 집합의 교차로 정의된 전방 불변 집합은 점근적으로 안정적이며, 이는 이전의 고차수 보행 함수 이론에서 확립되지 않은 결과이다.
• 이 방법은 전방 완비성 가정이 필요 없으며, 이는 [18, 19]와 같은 이전 접근 방식에 비해 핵심적인 이점이다.
• 제안된 제어 법칙은 국소 리프시츠 연속성이 보장되며 특이점이 없어 실시간 제어 시스템에서 실용적으로 적용 가능하다.
• 성능 중심 성질이 검증되었다: 장애 함수 값 $b(t) \geq \xi = 0.6$ 일 경우 실제 제어 입력은 노미널 제어 신호와 일치하며, 이는 노미널 법칙이 의도한 바에 따라 사용되고 있음을 확인한다.
• 자세 안정화 사례 연구에서, 추가 제어 외란이 존재하더라도 시스템은 안전 영역 내에 머물렀으며, 상태가 성능 중심 영역으로 재진입할 경우 노미널 제어기가 원활하게 재활성화되었다.
• 이 프레임워크는 특이점이 존재하지만 안전 영역 경계에서 멀리 떨어져 있는 비균일 상대 차수를 가진 시스템, 예를 들어 강체 자세 동역학과 같은 시스템을 성공적으로 처리한다.