[논문 리뷰] High order conservative Semi-Lagrangian scheme for the BGK model of the Boltzmann equation

Sebastiano Boscarino, Seung Yun Cho외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 09.

Gas Dynamics and Kinetic Theory참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 볼츠만 방정식의 BGK 모델을 위한 고차수 보존성 반라그랑주 유한차법을 제시한다. 이는 두 가지 주요 보존 실패 문제를 해결한다: (1) 이산 맥스웰리안을 사용함으로써 이산 속도 공간 해상도 오차를 해결하고, (2) 유량 차분 기반 보존 보정을 통해 재구성 과정에서 발생하는 보존 손실을 복구한다. 이 방법은 최소한의 속도 격자 포인트로도 질량, 운동량, 에너지의 머신 정밀도 보존을 달성하며, 쿤델 수 κ → 0일 때 오일러 극한에 대해 점점 더 보존 가능하다.

ABSTRACT

In this paper, we present a conservative semi-Lagrangian finite-difference scheme for the BGK model. Classical semi-Lagrangian finite difference schemes, coupled with an L-stable treatment of the collision term, allow large time steps, for all the range of Knudsen number. Unfortunately, however, such schemes are not conservative. There are two main sources of lack of conservation. First, when using classical continuous Maxwellian, conservation error is negligible only if velocity space is resolved with sufficiently large number of grid points. However, for a small number of grids in velocity space such error is not negligible, because the parameters of the Maxwellian do not coincide with the discrete moments. Secondly, the non-linear reconstruction used to prevent oscillations destroys the translation invariance which is at the basis of the conservation properties of the scheme. As a consequence the schemes show a wrong shock speed in the limit of small Knudsen number. To treat the first problem and ensure machine precision conservation of mass, momentum and energy with a relatively small number of velocity grid points, we replace the continuous Maxwellian with the discrete Maxwellian introduced by Mieussens. The second problem is treated by implementing a conservative correction procedure based on the flux difference form. In this way we can construct a conservative semi-Lagrangian scheme which is Asymptotic Preserving (AP) for the underlying Euler limit, as the Knudsen number vanishes. The effectiveness of the proposed scheme is demonstrated by extensive numerical tests.

연구 동기 및 목표

• 기본 반라그랑주 방법에서 속도 격자 수가 적을 경우 보존성이 떨어지는 문제를 해결한다. 특히, BGK 모델에 대해 저해상도 속도 격자 환경에서의 보존성 결여를 다룬다.
• 비선형 재구성으로 인해 발생하는 평행 이동 불변성 상실 문제를 수정한다. 이는 작은 쿤델 수 근처에서 충격 속도가 왜곡되는 현상을 방지한다.
• 연속 맥스웰리안 대신 이산 맥스웰리안을 사용하여 질량, 운동량, 에너지의 머신 정밀도 보존을 보장한다.
• 쿤델 수 κ → 0일 때 오일러 극한에 대해 점점 더 보존 가능(Asymptotic Preserving, AP)인 방법을 개발한다.
• L-안정성 처리를 통해 충돌 항을 처리함으로써 큰 시간 스텝 동안에도 고차수 정확도를 유지하면서 보존성과 안정성을 확보한다.

제안 방법

• 해상도가 낮은 속도 격자에서도 순간의 보존을 보장하기 위해 [17]에서 제안한 이산 맥스웰리안을 연속 맥스웰리안 대체한다.
• 비선형 재구성 과정에서 발생하는 보존 손실을 복구하기 위해 [21]에서 제안한 유량 차분 기반의 보존 보정 절차를 구현한다.
• L-안정성 처리를 통해 BGK 충돌 항을 처리하는 DIRK(Diagonally Implicit Runge-Kutta) 또는 BDF(Backward Differentiation Formula) 시간 이산화를 사용하여 큰 시간 스텝을 허용한다.
• 반라그랑주 프레임워크 내에서 특성 궤적을 계산하기 위해 고차수 공간 및 시간 보간을 적용한다.
• 전체 도메인에서 총 질량, 운동량, 에너지를 유지하기 위해 주기적 경계 조건을 적용한다.
• 유량 차분 보정과 순간 일致성 한계를 사용하여 이산 보존 오차 추정치를 유도하며, 적절한 안정성 조건 하에서 기계 정밀도 수준으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 반라그랑주 방법이 적은 수의 속도 격자 포인트로도 질량, 운동량, 에너지의 머신 정밀도 보존을 달성할 수 있는가?
• RQ2 연속 맥스웰리안과 비선형 재구성을 사용할 경우 고전적 반라그랑주 방법에서 보존성이 손실되는 원인은 무엇인가?
• RQ3 유량 차분 기반 보존 보정이 고차수 정확도와 안정성을 유지하면서도 보존성을 복구할 수 있는가?
• RQ4 제안된 방법이 작은 쿤델 수 근처에서 점점 더 보존 가능(AP) 성질을 유지하는가? 이는 정확한 오일러 역학을 보장하는가?
• RQ5 이산 방법에서 순간 보존의 이론적 오차 한계는 무엇이며, 시간 스텝과 허용 오차에 따라 어떻게 척도가 변하는가?

주요 결과

• 연속 맥스웰리안 대신 이산 맥스웰리안을 사용함으로써 해상도가 낮은 속도 격자에서 발생하는 순간 보존 오차가 제거되어, 적은 수의 속도 포인트로도 머신 정밀도 보존이 가능하다.
• 유량 차분 기반 보존 보정이 평행 이동 불변성을 성공적으로 복구하고, 작은 쿤델 수 영역에서 비현실적인 충격 속도 오차를 방지한다.
• 이 방법은 점점 더 보존 가능(AP) 행동을 보인다. 쿤델 수 κ → 0일 때, 해의 순간은 압축성 오일러 방정식으로 수렴한다.
• DIRK 및 BDF 방법 모두에 대해 보존 오차 추정치를 유도하였으며, 총 순간 오차가 재구성의 허용 오차와 시간 스텝에 비례하는 항으로 유계임을 보였다. 이때 상수는 부처 차트 계수에 의존한다.
• s=1,2,3인 DIRK 방법의 경우 보존 오차는 (Σ|bₖ|) * (NₜΔt)/(κ + bₛΔt) * (x_max - x_min) * tol 으로 유계이며, tol → 0일 때 기계 정밀도로 수렴함을 보장한다.
• s=2,3인 BDF 방법의 경우 추가적인 요소 γₛ와 βₛ가 포함되며, γ₂ = 3/2 및 γ₃ = 146/11 로 주어진다. 이는 시간 스텝의 복잡성이 증가하지만 여전히 보존 오차가 유계임을 반영한다.