[논문 리뷰] High-order convergent Finite-Elements Direct Transcription Method for Constrained Optimal Control Problems

Martin Neuenhofen|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 21.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 미분대수방정식(DAEs), 국소 제약 조건, 부등식 제약 조건을 가진 제약 조건이 있는 비선형 최적 제어 문제를 해결하기 위한 고차수 수렴성의 유한요소 방법을 제시한다. 정규화된 페널티-바rier 기능을 사용하고 유한요소 공간 내 국소 강凸성과 리프시츠 연속성을 활용함으로써, 약한 가정 하에 고차수 수렴성을 달성하며, 이는 유연한 구성 요소별 메쉬 정밀 조정과 일반 목적의 솔버를 통한 효율적인 희소성 인식 NLP 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we present a finite element method for the direct transcription of constrained non-linear optimal control problems. We prove that our method converges of high order under mild assumptions. Our analysis uses a regularized penalty-barrier functional. The convergence result is obtained from local strict convexity and Lipschitz-continuity of this functional in the finite-element space. The method is very flexible. Each component of the numerical solution can be discretized with a different mesh. General differential-algebraic constraints of arbitrary index can be treated easily with this new method. From the discretization results an unconstrained non-linear programming problem (NLP) with penalty- and barrier-terms. The derivatives of the NLP functions have a sparsity pattern that can be analysed and tailored in terms of the chosen finite-element bases in an easy way. We discuss how to treat the resulting NLP in a practical way with general-purpose software for constrained non-linear programming.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 DAEs, 국소 제약 조건 및 부등식 제약 조건을 가진 제약 조건이 있는 최적 제어 문제를 위한 고차수 수렴성의 수치적 방법을 개발하기.
• 특히 정규화된 페널티-바리어 기능의 사용을 통해 약한 가정 하에 제안된 방법의 엄밀한 수렴 보장을 확립하기.
• 각 해 벡터 성분에 대해 별도의 메쉬를 허용함으로써 공간 이산화의 민첩성 확보하기.
• 결과로 얻어진 비선형 프rogramming(NLP) 문제의 구조적 희소성 패턴을 유지하여 일반 목적의 솔버를 통한 효율적 해법을 보장하기.
• 내부점 방법과 로그 바리어를 사용하여 이산 NLP를 해결하는 실용적인 프레임워크 제공하기. 이는 적절한 매개변수 설정 하에 원래 문제와의 동치성을 보장한다.

제안 방법

• 시간에 대한 상태 및 제어 변수의 유한요소 이산화를 수행하며, 해 벡터의 각 성분에 대해 별도의 메쉬 정밀 조정을 허용한다.
• 제약 조건을 처리하기 위해 정규화된 페널티-바리어 기능을 사용하며, 등식 제약 조건(페널티 항을 통해)과 부등식 제약 조건(바리어 항을 통해)을 하나의 비제약 NLP 설정으로 통합한다.
• 비용 기능과 제약 함수는 고차수 유한요소를 사용하여 이산화되어, 진짜 최적 제어 해에 대한 수치적 해의 고차수 수렴성을 보장한다.
• 결과로 얻어진 NLP는 선택된 유한요소 기저 함수에 명시적으로 연결된 희소성 패턴을 가지며, 선형 대수 기법에서의 효율적 활용을 가능하게 한다.
• 결과로 얻어진 NLP는 IPOPT나 Knitro와 같은 내부점 방법을 사용하여 해석되며, 로그 바리어와 매개변수 연속 전략을 통해 원래 문제와의 동치성을 유지한다.
• 소규모이고 고정된 페널티 매개변수 ω와 바리어 매개변수 τ를 사용할 수 있으며, 솔버에서 τ = ϑ로 설정할 수 있어 원래 문제와의 동치성을 보장할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 DAEs와 부등식 제약 조건을 가진 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에 대해 고차수 수렴성을 달성하는 유한요소 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 정규화된 페널티-바리어 기능의 사용이 약한 가정 하에 국소 최적 해로의 수렴을 보장하는가?
• RQ3 수렴성과 희소성에 영향을 주지 않으면서도 해 벡터의 각 성분에 대해 별도의 적응형 메쉬 정밀 조정을 지원할 수 있는가?
• RQ4 결과로 얻어진 NLP는 일반 목적의 비선형 프로그래밍 솔버를 효율적으로 사용할 수 있도록 희소성 패턴을 유지하도록 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 특히 내부점 방법을 사용할 경우, 페널티 및 바리어 항을 사용하여 NLP를 재구성할 때 원래 최적 제어 문제와의 동치성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 유한요소 방법은 국소 강凸성과 정규화된 페널티-바리어 기능의 리프시츠 연속성 등 약한 가정 하에 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에 대해 고차수 수렴성을 달성한다.
• 이 방법은 서로 다른 정규성 또는 역학적 특성을 가진 해 성분을 효율적으로 해결할 수 있도록 구성 요소별 별도의 메쉬 정밀 조정을 허용한다.
• 결과로 얻어진 NLP는 유한요소 기저 함수에 의해 직접 결정되는 구조적 희소성 패턴을 상속받으며, 선형 대수 연산에서의 효율적 활용이 가능하다.
• NLP 설정은 IPOPT 및 Knitro와 같은 일반 목적의 내부점 솔버와 호환되며, 바리어 매개변수 ϑ = τ로 설정할 수 있어 원래 문제와의 동치성을 보장한다.
• 수치 실험 결과, 적분 점 수가 자유도 수를 초과하는 경우에도 방법이 타당성을 유지하는 것으로 나타났다. 이는 다른 설정에서는 타당성이 상실될 수 있는 반면, 본 방법은 그렇지 않음을 시사한다.
• 이 방법은 DAEs, 국소 제약 조건 및 부등식 제약 조건을 포함한 복잡한 최적 제어 문제를 해결하기 위한 강력하고 유연한 프레임워크를 제공하며, 수렴 보장과 실용적 해법 가능성을 동시에 확보한다.