[논문 리뷰] High order correctors and two-scale expansions in stochastic homogenization

Yu Gu|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 29.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 i.i.d. 랜덤 계수를 가진 이산 타원 방정식의 스토하스틱 호모제네이션에서 고차수 보정자의 순간 경계를 확립한다. 로그 소볼레프 조건과 차원 제약 조건(기울기의 경우 d ≥ 2n−1, 필드의 경우 d ≥ 2n+1) 하에서, n차수 보정자와 그 기울기의 균일한 순간 추정을 증명하며, 이는 첫 번째 및 고차수 랜덤 변동을 강한 의미에서 식별하는 엄밀한 이중 척도 전개를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we study high order correctors in stochastic homogenization. We consider elliptic equations in divergence form on $\mathbb{Z}^d$, with the random coefficients constructed from i.i.d. random variables. We prove moment bounds on the high order correctors and their gradients under dimensional constraints. It implies the existence of stationary correctors and stationary gradients in high dimensions. As an application, we prove a two-scale expansion of the solutions to the random PDE, which identifies the first and higher order random fluctuations in a strong sense.

연구 동기 및 목표

• 첫 번째 보정자 이외의 양적 호모제네이션 이론을 확장하기 위해 랜덤 매질에서 고차수 보정자를 분석한다.
• 차원 및 혼합 조건 하에서 고차수 보정자와 그 기울기의 균일한 순간 추정을 수립한다.
• 해의 이중 척도 전개를 도출하여, 강한 경로 기반 의미에서 첫 번째 및 고차수 랜덤 변동을 식별한다.
• 모멘트 경계를 통해 고차원에서 정적 보정자와 기울기의 존재를 보여준다.

제안 방법

• i.i.d. 전도도가 로그 소볼레프 부등식을 만족하는 이산 설정에서 형식적 이중 척도 전개를 통해 n차수 보정자를 구성한다.
• 생성자 (λ + ∇*a∇)ϕ_ξ^λ = −∇*aξ를 포함하는 정규화된 보정자 방정식을 사용하여 고차수 보정자 ψ_n^λ를 정의한다.
• 스펙트럼 간격과 농도 기법을 통해 로그 소볼레프 부등식을 적용하여 보정자와 그 기울기의 순간을 제어한다.
• 이산 그린 함수 추정과 척도 조정 기법을 사용하여 이산 및 연속 PDE의 해를 비교한다.
• 그린 함수를 포함하는 차이의 L2 노름 추정을 통해 이산 해가 호모제니드 해로 수렴함을 증명한다.
• 지배 수렴 정리와 지수 감쇠 추정을 사용하여 ε → 0의 극한에서 근사의 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 호모제네이션에서 고차수 보정자가 균일한 순간 경계를 가질 수 있는 차원 및 혼합 조건은 무엇인가?
• RQ2 랜덤 PDE의 해에서 첫 번째 및 고차수 랜덤 변동은 강한 경로 기반 의미에서 이중 척도 전개를 통해 식별될 수 있는가?
• RQ3 정적 보정자의 존재성과 보정자의 차수 n에 대한 차원 d의 관계는 어떠한가?
• RQ4 고차수 보정자는 랜덤 매질에서 점별 및 약한 대규모 변동 간의 괴리 현상을 어떻게 설명하는가?
• RQ5 모멘트 추정과 수렴 논증을 사용하여 형식적 이중 척도 전개를 엄밀하게 만들 수 있는가?

주요 결과

• n ≥ 2 및 d ≥ 2n−1일 때, n차수 보정자 ψ_n^λ의 기울기는 λ에 관계없이 균일한 L^p 순간 경계를 만족한다.
• n ≥ 2 및 d ≥ 2n+1일 때, n차수 보정자 ψ_n^λ 자체도 λ에 관계없이 균일한 L^p 순간 경계를 만족한다.
• 이러한 순간 경계는 고차원에서 정적 보정자와 정적 기울기의 존재를 암시한다.
• 랜덤 PDE의 해에 대한 이중 척도 전개가 엄밀히 확립되었으며, 이는 강한 의미에서 첫 번째 및 고차수 랜덤 변동을 식별한다.
• 그린 함수의 지수 감쇠를 바탕으로 L2 노름 추정과 지배 수렴 정리를 사용하여 이산 해가 호모제니드 해로 수렴함을 증명하였다.
• 논문은 더 강력한 형태를 단순화하기 위해 더 약한 로그 소볼레프 유사 조건을 만족하는 일반적인 i.i.d. 집합에 대해서도 결과가 확장됨을 보여주지만, 주로 더 강력한 형태에 초점을 맞춘다.