[논문 리뷰] High-order entropy stable discontinuous Galerkin methods for the shallow water equations: curved triangular meshes and GPU acceleration

Xinhui Wu, Jesse Chan외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 05.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 35인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 곡선 삼각형 메esh에서 얕은 수면 방정식에 대해 고차수 엔트로피 안정적 비연속 갈레르킨(DG) 방법을 제시하며, 잘 균형 잡힌 성질과 이산 엔트로피 안정성을 보장한다. 고차수 요소에서 GPU 가속을 통해 계산 비용 비율이 2.5배 수준을 기록하며, ESDG의 경우 삼각형 메esh에서 기존 DG 대비 1.5–2.5배 느리며, 더 많은 산술 연산으로 인해 발생하지만 GPU는 이 성능 격차를 약간 줄여준다.

ABSTRACT

We present a high-order entropy stable discontinuous Galerkin (ESDG) method for the two dimensional shallow water equations (SWE) on curved triangular meshes. The presented scheme preserves a semi-discrete entropy inequality and remains well-balanced for continuous bathymetry profiles. We provide numerical experiments which confirm the high-order accuracy and theoretical properties of the scheme, and compare the presented scheme to an entropy stable scheme based on simplicial summation-by-parts (SBP) finite difference operators. Finally, we report the computational performance of an implementation on Graphics Processing Units (GPUs) and provide comparisons to existing GPU-accelerated implementations of high-order DG methods on quadrilateral meshes.

연구 동기 및 목표

• 곡선 삼각형 메쉬에서 얕은 수면 방정식에 대해 이산 엔트로피와 잘 균형 잡힌 성질을 유지하는 고차수 엔트로피 안정적 DG 스킴을 개발한다.
• 구조적 사각형 메쉬에 국한된 엔트로피 안정적 DG 방법을 비정규 메쉬인 비정규 삼각형 요소와 곡선 기하학으로 확장한다.
• GPU에서 스킴을 구현하고 기존 GPU 가속 DG 방법과의 성능 비교를 통해 벤치마킹을 수행한다.
• 특히 삼각형 메쉬와 사각형 메쉬 간의 차이를 고려하여, 표준 DG 대비 엔트로피 안정적 DG의 계산 비용을 분석한다.
• 지속적인 수심 프로파일에서 잘 균형 잡힌 성질을 유지하면서 고차수 정확도와 안정성을 확보한다.

제안 방법

• 고차수 정확도 확보를 위해 임의의 체적 및 표면 적분 규칙을 사용하는 모드형 DG 설정을 사용한다.
• 이산 엔트로피 부등식을 만족하는 엔트로피 안정적 DG 스킴을 구성하기 위해 하이브리드화된 합성-통합(SBP) 연산자를 활용한다.
• 지속적인 수심 프로파일에 대해 '정체된 호수' 조건을 유지하기 위해 잘 균형 잡힌 재구성 전략을 구현한다.
• OCCA 프레임워크를 사용해 GPU 가속 커널을 구현하며, ESDG 및 기존 DG의 체적 연산에 대해 다중 스레딩 최적화를 수행한다.
• ESDG 체적 커널의 계산 비용을 유도하고 평가하며, 기울어진 대칭 유량 행렬 연산으로 인해 요소당 $O(N_q^2)$의 유량 평가가 발생한다.
• CPU 및 GPU에서 ESDG와 기존 DG 간의 런타임 비율을 비교하며 다항식 차수 $N$에 따른 성능 스케일링을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡선 삼각형 메쉬에서 얕은 수면 방정식에 대해 엔트로피 안정적이고 잘 균형 잡힌 고차수 DG 스킴을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 삼각형 메쉬에서 엔트로피 안정적 DG의 계산 비용 오버헤드는 표준 DG 대비 얼마이며, 다항식 차수에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ3 GPU 가속은 삼각형 요소에서 엔트로피 안정적 DG와 기존 DG 간의 성능 격차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 ESDG 커널이 삼각형 메쉬에서 사각형 메쉬보다 더 높은 비용 비율을 보이는 이유는 무엇이며, 이는 이전의 GPU 최적화된 SBP-DG 구현과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 GPU는 삼각형 메쉬에서 엔트로피 안정적 DG의 계산 비용 손실을 어느 정도 완화하는가?

주요 결과

• 제안된 곡선 삼각형 메쉬에서의 ESDG 스킴은 이산 엔트로피 안정성과 지속적인 수심 프로파일에서 잘 균형 잡힌 성질을 유지하며, 수치 실험을 통해 이론적 성질을 확인한다.
• ESDG 체적 커널은 삼각형에서 기존 DG 대비 최소 1.5배 이상 느리며, 고차수 다항식($N \approx 12$)일 경우 비용 비율이 약 2.5에 수렴한다.
• GPU에서 ESDG와 기존 DG 간의 성능 격차는 줄어들지만 여전히 존재하며, 고차수 요소에서 $R_{GPU}$는 약 2.5 수준을 유지한다.
• ESDG의 높은 비용은 표준 DG의 $O(N_q)$ 대비 $O(N_q^2)$의 유량 평가가 요소당 행렬 항목마다 발생하기 때문이며, 이는 유사한 점근적 FLOP 수와는 다릅니다.
• 계산 비용 비율은 $O(N_q^2)$ 연산 수가 메모리 대역폭이 아닌 산술 연산에 의해 지배되므로, 이는 사각형 SBP-DG와 달리 메모리에 의해 제한되는 것과 다릅니다.
• 특히 $N \approx 12$일 때는 증가하는 산술 연산이 메모리 트래픽 병목을 초월하여 런타임 비율이 다시 내려가지만, 비율은 약 2.5에서 안정된다.