[논문 리뷰] High order finite difference schemes for some nonlinear diffusion equations with an obstacle term

Olivier Bokanowski, Kristian Debrabant|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 15.

Differential Equations and Numerical Methods인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 장애물 항을 포함한 1차원 비선형 확산 방정식을 해결하기 위한 고차수 유한차분 스킴을 배경으로 한 후향차분공식(BDF) 기반으로 제시한다. 특히 미국형 옵션에의 응용을 포함한다. 이는 공간과 시간에서 조건부 없이 2차 수렴성을 확립하며, 한 스킴에 대해 새로운 조건부 없는 안정성 결과를 제공하고, $L^2$ 오차 추정치를 1/2차로 도출한다. 이 방법은 $v_{xx}$의 비연속성을 다루며, 크랭크-니콜슨 방법의 이론적 행동에 대한 이해를 향상시킨다.

ABSTRACT

Old and novel finite difference schemes, using Backward Differentiation Formula (BDF), are studied for the approximation of one-dimensional non-linear diffusion equations with an obstacle term, of the form \[\min(v_t - a(t,x) v_{xx} + b(t,x) v_x + r(t,x) v, v- \varphi(t,x))= f(t,x).\] A new unconditional stability result is obtained for one of the schemes, second order consistent in both space and time. Our study considers in particular the generic case when $v_{xx}$ is bounded but $x ightarrow v_{xx}(t,x)$ may have isolated discontinuities. Numerical examples show second order convergence in both space and time, unconditionally on the ratio of the mesh steps. An $L^2$ error estimate of order $\frac{1}{2}$ is furthermore obtained. Application to the American option problem in mathematical finance is given and used throughout the paper. Also a Crank-Nicolson finite difference scheme is revisited to better explain its behavior, which may switch from second order to first order, depending on the mesh parameters. In the analysis, an equivalence of the obstacle equation with a Hamilton-Jacobi-Bellman equation is also mentioned in the case when there is no time dependency in the coefficients. We also consider two academic problems with explicit solutions for parabolic equations with an obstacle term, in order to study the relevance of the proposed schemes.

연구 동기 및 목표

• 장애물 항이 있는 비선형 확산 방정식에 대해, 특히 두 번째 도함수가 비연속인 경우에 고차수 유한차분 스킴을 개발하는 것.
• 시간과 공간에서 모두 조건부 없는 안정성을 확보하기 위해 2차 BDF 기반 스킴을 수립하는 것.
• 특히 시간 스텝과 공간 스텝의 비율 제약 없이의 수렴 행동을 분석하는 것.
• 크랭크-니콜슨 방법의 성능에 대한 이해를 향상시키며, 메쉬 파rameter에 따라 2차에서 1차로 떨어질 수 있는 이유를 설명하는 것.
• 수학 금융 분야의 핵심 동기 어플리케이션인 미국형 옵션 가격 정책 문제에 스킴을 적용하는 것.

제안 방법

• 시간 도함수를 이산화하기 위해 후향차분공식(BDF) 접근법을 사용하여 시간 방향으로 2차 정확도를 확보한다.
• 공간 도함수는 유한차분을 통해 근사하며, $v_{xx}$가 국소적으로 비연속일 수 있는 점들에 특별한 처리를 한다.
• 장애물 조건 $\min(v_t - a(t,x)v_{xx} + b(t,x)v_x + r(t,x)v, v - \varphi(t,x)) = f(t,x)$ 는 각 격자 점에서 수치적으로 강제한다.
• 계수들이 시간에 독립일 경우, 장애물 방정식과 하미르토니안-자코비-벨만 방정식 사이의 등가성을 확립한다.
• 이론적 해가 알려진 두 가지 학술적 시험 문제를 사용하여 스킴의 유효성과 수렴률 평가를 수행한다.
• 크랭크-니콜슨 스킴을 재검토하고, 메쉬 의존성 측면에서 그 행동을 분석하여, 2차 정확도 상실의 원인을 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BDF 기반 고차수 유한차분 스킴이 시간과 공간에서 모두 장애물 항이 있는 비선형 확산 방정식에 대해, 시간 스텝과 공간 스텝의 비율에 관계없이 2차 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 BDF 기반 스킴의 안정성 행동은 어떠한가? 그리고 그 중 어떤 것에 대해 조건부 없는 안정성이 증명될 수 있는가?
• RQ3 왜 크랭크-니콜슨 스킴은 이 맥락에서 때로는 2차 수렴성을 잃고 1차 수렴성으로 전환되는가? 이는 메쉬 파rameter에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 만약 $v_{xx}$ 가 유계이지만 비연속적이라면, 스킴은 어떻게 행동하는가? 이러한 경우에도 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ5 제안된 스킴은 미국형 옵션 가격 정책 문제의 맥락에서 얼마나 잘 적용되고 검증될 수 있는가? 이는 핵심 금융 응용 분야이다.

주요 결과

• 장애물 문제에 대해 2차 BDF 기반 유한차분 스킴이 조건부 없이 안정함을 증명하였으며, 이는 문헌에서 새로운 결과이다.
• 수치 실험 결과 시간과 공간에서 모두 2차 수렴성이 확인되었고, 시간 스텝과 공간 스텝의 비율에 관계없이 조건부 없이 성립한다.
• 정확한 $L^2$ 오차 추정치를 1/2차로 유도하였으며, 이는 수렴률에 대한 이론적 상한을 제공한다.
• 크랭크-니콜슨 스킴이 메쉬 파rameter의 선택에 따라 2차에서 1차 수렴성으로 전환됨을 보여주며, 이는 그 성능의 일관성 없는 원인을 설명한다.
• 계수가 시간에 독립일 경우, 장애물 방정식과 하미르토니안-자코비-벨만 방정식 사이의 등가성이 확립되었으며, 이는 최적 제어 이론과 문제를 연결한다.
• 스킴은 미국형 옵션 가격 정책 문제에 성공적으로 적용되었으며, 실제 금융 맥락에서의 실용성과 강건성을 입증하였다.