[논문 리뷰] High-order implicit palindromic discontinuous Galerkin method for kinetic-relaxation approximation

David Coulette, Emmanuel Franck외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 13.

Lattice Boltzmann Simulation Studies참고 문헌 51인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 히퍼볼릭 보존법칙을 운동론적-완화 근사법을 통해 해결하기 위한 고차수, 암시적, 행렬을 사용하지 않는 비연속 갈레르킨 방법을 제시한다. 팔린드롬 시간 적분 방법을 기반으로 하며, 강성 있는 완화 한계에서라도 조건부 안정성 없이 고차수의 공간 및 시간 정확도를 확보하면서도 계산 효율성을 유지한다. 이는 완화 시간 τ가 수렴하는 경우에도 성립한다.

ABSTRACT

We construct a high order discontinuous Galerkin method for solving general hyperbolic systems of conservation laws. The method is CFL-less, matrix-free, has the complexity of an explicit scheme and can be of arbitrary order in space and time. The construction is based on: (a) the representation of the system of conservation laws by a kinetic vectorial representation with a stiff relaxation term; (b) a matrix-free, CFL-less implicit discontinuous Galerkin transport solver; and (c) a stiffly accurate composition method for time integration. The method is validated on several one-dimensional test cases. It is then applied on two-dimensional and three-dimensional test cases: flow past a cylinder, magnetohydrodynamics and multifluid sedimentation.

연구 동기 및 목표

• 다중 시간 스케일을 가진 히퍼볼릭 보존법칙을 해결하는 데 있어, 특히 CFL 조건으로 제한되는 전형적 방법의 과제를 해결한다.
• 강성 있는 완화 시스템에서 흔히 발생하는 수치적 확산과 순서 감소 문제를 해결한다.
• 완화 시간 τ → 0의 극한에서 정확도를 유지하는 고차수, 조건부 안정성 없는 시간 적분 방법을 개발한다 (점근적 유지 성질을 갖는다).
• 행렬을 사용하지 않고 저메모리 구현을 실현하며, 계산 복잡도를 명시적 방법과 유사하게 유지하여 대규모 시뮬레이션을 효율적으로 수행한다.
• 복잡한 기하구조와 다차원 문제, 예를 들어 MHD 및 다상유동에 대해 확장 가능하며, 고차수 정확도를 유지한다.

제안 방법

• 작은 완화 시간 τ로 매개변수화된 강성 있는 완화 소스 항을 포함한 벡터형 운동론적 표현을 통해 원래의 히퍼볼릭 보존법칙 시스템을 기술한다.
• 전달 방정식을 해결하기 위해 행렬을 사용하지 않는 암시적 비연속 갈레르킨 방법을 적용하며, 유도된 선형 시스템의 삼각형 구조를 활용해 저비용으로 직접 해를 구한다.
• 시간 적분에 팔린드롬(시간에 대해 대칭인) 조합 방법을 사용하여, τ → 0의 강성 극한에서도 두 번째 차수 정확도를 확보한다.
• 저차수 팔린드롬 방법의 조합을 통해 최대 6차까지의 고차수 시간 적분기를 구성하며, 안정성과 정확도를 유지한다.
• 전달 방정식의 가역성 특성을 활용하여 시간 적분기가 강성 정확도를 확보하고 점근적 유지(AP) 성질을 유지하도록 보장한다.
• 영역 분할을 통한 병렬 구현을 수행하며, 국소 선형 해법과 전역 통신을 효율적으로 처리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강성 있는 히퍼볼릭 시스템에 대해 조건부 안정성 없이 계산 효율성을 유지하는 고차수, 암시적, 행렬을 사용하지 않는 DG 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 팔린드롬 시간 적분은 완화 시간 τ가 수렴하는 극한에서 어떻게 두 번째 차수 정확도를 유지하는가?
• RQ3 τ → 0일 때, 특히 다차원 및 비선형 시스템에서 점근적 유지 성질이 어느 정도 유지되는가?
• RQ4 공간 및 시간 양쪽에서 임의의 차수 정확도를 확보하면서도 저메모리 및 저계산 비용을 유지할 수 있는가?
• RQ5 실제 문제, 예를 들어 원통체 주위의 유동, MHD, 다상유동 침강 현상 등에서 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 팔린드롬 조합 방법을 사용하여 공간 및 시간 양쪽에서 임의의 정확도를 확보하였으며, 시험 케이스에서 시간에 대해 4차 및 6차 수렴이 입증되었다.
• 암시적 DG 솔버는 행렬을 사용하지 않으며, 선형 시스템의 삼각형 구조 덕분에 명시적 방법과 계산적으로 동일한 효율성을 확보하여 효율적인 병렬 구현이 가능하다.
• 방정식은 조건부 안정성 없이 안정하며, τ → 0에서도 두 번째 차수 정확도를 유지한다. 이는 점근적 유지 성질을 확인한다.
• 수치적 결과는 일차원의 부드러운 해와 불연속 해 모두에서 뛰어난 성능을 보이며, 수치적 확산이 최소화되고 충격파의 해상도가 매우 높다.
• 이 방법은 MHD 및 다상유동 레일리-테일러 불안정성과 같은 복잡한 2차원 및 3차원 흐름을 고정밀도와 안정성으로 성공적으로 시뮬레이션하였다.
• 무료 경계 조건 및 두꺼운 경계 조건을 모두 적용한 원통체 주위의 흐름에 대한 시뮬레이션을 통해, 복잡한 기하구조 및 경계 조건 처리 능력을 입증하였다.