[논문 리뷰] High-order Kirchhoff problems in bounded and unbounded domains

Mohamed Karim Hamdani, Abdellaziz Harrabi|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 29.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 및 비유계 영역에서 m-다중편성 연산자를 포함하는 고차 Kirchhoff 문제에 대해 무한히 많은 해의 존재를 확립한다. 이는 ℝᴺ에서의 영 질량 사례를 포함한다. 새로운 양 λₘ를 도입하여 m-다중편성 연산자의 첫 번째 고유값과 유사하게 하고, W₀ʳᵐ(Ω)에서의 Schauder 기저를 활용함으로써, f가 0 근처에서 제어되지 않더라도, f가 무한대에서 약한 성장 조건을 만족할 경우에도 대칭 산맥 길 기하학을 검증한다. 이는 변분 방법을 기울어진 및 비유계 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

Consider the following $m-$polyharmonic Kirchhoff problem: \begin{eqnarray} \label{ea} \begin{cases} M\left(\int_Ø|D_r u|^{m} +a|u|^m ight)[Δ^r_m u +a|u|^{m-2}u]= K(x)f(u) &\mbox{in}\quad Ω, \\ u=\left(\frac{\partial}{\partial ν} ight)^k u=0, \quad &\mbox{on}\quad \partialΩ, \quad k=1, 2,..... , r-1, \end{cases} \end{eqnarray} where $r \in \N^*$, $m >1$, $N\geq rm+1$, $a\geq 0$, $K\in L^{\infty}(Ø)$ is a positive weight function, $M \in C([0,+\infty))$ and $f\in C(\mathbb{R})$ which will be specified later. We will study problem \eqref{ea} in the following different type of domains: \begin{enumerate} \item $a=0$ and $K\in L^{\infty}(Ø)$ is a positive weight function if $Ω$ is a smooth bounded domain of $\R^N$. \item $a>0$ and $K\in L^{\infty}(Ø)\cap L^{p}(Ø)$, $p \geq 1$ if $Ω$ is an unbounded smooth domain. \item $Ø=\R^N$ and $a=0$ (which called the $mγ$-zero mass case). \end{enumerate} We prove the existence of infinitely many solutions of \eqref{ea} for some odd functions $f$ in $u$ satisfying subcritical growth conditions at infinity which are weaker than the analogue of the Ambrosetti-Rabinowitz condition and the standard subcritical polynomial growth. The new aspect consists in employing the Schauder basis of $W_0^{r,m}(Ø)$ to verify the geometry of the symmetric mountain pass theorem without any control on $f$ near $0$ if $Ω$ is a bounded domain and under a suitable condition at $0$ if $Ω$ is a unbounded domain allowing only to derive the variational setting of \eqref{ea}. Moreover, we introduce a positive quantity $λ_M$ similar to the first eigenvalue of the $m$-polyharmonic operator to find a mountain pass solution.

연구 동기 및 목표

• 유계 및 비유계 영역에서 m-다중편성 연산자를 포함하는 고차 Kirchhoff 문제에 대해 무한히 많은 해의 존재를 확립한다.
• M(τ)가 τ=0에서 0이 될 수 있는 기울어진 Kirchhoff 문제에 변분 방법을 확장하여 강도 부족 문제를 극복한다.
• 표준 소볼레프 포함이 실패하는 영역에서의 영 질량 사례(a=0, Ω=ℝᴺ)를 분석하며, 새로운 함수 해석 설정이 필요하다.
• f에 대한 약한 성장 조건 하에서 비기울어진 및 기울어진 m-다중편성 Kirchhoff 문제에 대해 변분 프레임워크를 개발한다.
• m-다중편성 연산자의 첫 번째 고유값과 유사한 새로운 양 λₘ을 도입하여 산맥 길 해를 구성한다.

제안 방법

• m-다중편성 연산자 Δʳₘ을 m-라플라스 연산자의 반복 적용을 통해 정의하며, r가 홀수인지 짝수인지에 따라 구분한다.
• E = W₀ʳᵐ(Ω) 공간을 정의하고, ||u||ᵐ = ∫(|Dʳu|ᵐ + a|u|ᵐ)로 정규화하며, Dʳu는 r차 미분 연산자로 간주한다.
• λₘ를 u ∈ E extbackslash {0}에 대해 ||u||ᵐ / ∫|u|ᵐᵞ의 하한으로 정의하며, 첫 번째 고유값과 유사하게 에너지 함수를 제어하는 데 사용한다.
• W₀ʳᵐ(Ω)의 Schauder 기저를 사용하여, f가 0 근처에서 제어되지 않더라도 대칭 산맥 길 기하학을 검증한다.
• M에 대한 조건 (M₁)–(M₃)과 f에 대한 조건 (H₂), (H₃′) 하에서, m ≥ 2이면 대칭 산맥 길 정리와 (PS) 조건, 1 < m < 2이면 (C) 조건을 적용한다.
• 새로운 λₘ과 f의 약한 성장 조건을 활용하여, I(u) ≥ α > 0 (||u|| = ρ일 때) 및 I(tφ) < 0 (큰 t일 때)를 증명함으로써 산맥 길 기하학을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유계 영역에서 고차 Kirchhoff 문제에 대해, f가 0 근처에서 제어되지 않더라도 대칭 산맥 길 정리를 적용할 수 있는가?
• RQ2 M(τ)가 τ=0에서 0이 될 수 있는 기울어진 Kirchhoff 문제에 대해 변분 프레임워크를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 새로운 양 λₘ은 m-다중편성 Kirchhoff 문제의 산맥 길 해를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 W₀ʳᵐ(Ω)의 Schauder 기저는 f가 0 근처에서 제어되지 않더라도 대칭 산맥 길 기하학을 검증하는 데 어떻게 활용되는가?
• RQ5 영 질량 사례(a=0, Ω=ℝᴺ)는 새로운 함수 해석 설정과 고유값 유사 양 λₘ을 사용하여 변분적으로 다룰 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 f에 대한 약한 성장 조건 하에서, 유계 및 비유계 영역에서 m-다중편성 Kirchhoff 문제에 대해 무한히 많은 해의 존재를 증명한다.
• Ω가 유계일 경우, f가 0 근처에서 제어되지 않더라도 W₀ʳᵐ(Ω)에서의 Schauder 기저의 사용 덕분에 존재 결과가 성립한다.
• 비유계 영역에서는 0 근처에서 f에 대한 적절한 조건이 필요하지만, 강한 가정(예: Ambrosetti-Rabinowitz 조건)을 피할 수 있다.
• m-다중편성 연산자의 첫 번째 고유값과 유사한 새로운 양 λₘ의 도입은 산맥 길 해의 구성에 기여한다.
• 산맥 길 기하학은 새로운 에너지 추정을 통해 검증되며, I(u) ≥ α > 0 (||u|| = ρ일 때) 및 I(tφ) < 0 (큰 t일 때)를 만족한다. 이는 λₘ과 f의 약한 성장 조건을 활용한다.
• (M₁)–(M₃) 조건 하에서, Palais-Smale 또는 Cerami 조건이 성립하여 에너지 함수의 임계점이 존재함을 보장한다.