[논문 리뷰] High-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations

Libo Feng, Pinghui Zhuang외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 31.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 30인용 수 32

한 줄 요약

저자들은 Riesz space fractional advection-dispersion equations에 대해 가중된 시프트 Grünwald 차이 연산자를 이용한 고차 차분 스킴을 개발하고, 무조건 안정성과 2차 수렴을 증명하며, Richardson extrapolation으로 정확도를 4차로 향상시키고, 수치 예제로 검증한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose high-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations (RSFADE) on a {f}inite domain. The RSFADE is obtained from the standard advection-dispersion equation by replacing the first-order and second-order space derivative with the Riesz fractional derivatives of order $α\in(0,1)$ and $β\in(1,2]$, respectively. Firstly, we utilize the weighted and shifted Grünwald difference operators to approximate the Riesz fractional derivative and present the {f}inite difference method for the RSFADE. Specifically, we discuss the Crank-Nicolson scheme and solve it in matrix form. Secondly, we prove that the scheme is unconditionally stable and convergent with the accuracy of $\mathcal {O}(τ^2+h^2)$. Thirdly, we use the Richardson extrapolation method (REM) to improve the convergence order which can be $\mathcal {O}(τ^4+h^4)$. Finally, some numerical examples are given to show the effectiveness of the numerical method, and the results are excellent with the theoretical analysis.

연구 동기 및 목표

• 유한 도메인에서 Riesz space fractional advection-dispersion equations에 대한 정확한 수치 해를 제시하도록 동기를 부여한다.
• 가중된 시프트 Grünwald 차이 연산자를 기반으로 한 Crank-Nicolson 유한 차분 스킴을 개발한다.
• 해의 무조건 안정성과 수렴성을 증명한다.
• Richardson extrapolation을 통해 수렴 차수를 향상시킨다.
• RFDE/RFADE 사례에 대한 수치 실험을 통해 효율성과 정확성을 시연한다.

제안 방법

• 가중된 시프트 Grünwald 차이(WSGD) 연산자를 사용하여 Riesz 분수 도함수를 근사한다.
• Crank-Nicolson 스킴으로 시간 이산화하여 행렬 형태 (I+D)U^n = (I−D)U^{n-1} 을 얻는다.
• 결과 연산자 D가 엄격히 대각지배적이며 (I+D)가 가역임을 보인다.
• 해의 무조건 안정성과 수렴성을 O(τ^2 + h^2) 정확도로 증명한다.
• Richardson extrapolation을 적용하여 O(τ^4 + h^4) 정확도를 얻는다.
• Grünwald 가중치 및 WSGD 특성에 관한 보조 정리를 통해 이론을 보완한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Can a high-order finite difference scheme accurately approximate the Riesz space fractional derivatives in RSFADE on a finite domain?
• RQ2 Is the Crank-Nicolson-based scheme unconditionally stable and convergent, and can its convergence be enhanced via Richardson extrapolation?
• RQ3 What are the practical convergence rates observed in numerical experiments for RFDE/RFADE with varying alpha and beta?
• RQ4 How does the method perform in matrix form with interior-point discretization and boundary conditions?

주요 결과

• The proposed CN–WSGD scheme achieves unconditional stability.
• The scheme converges with O(τ^2 + h^2) accuracy.
• Richardson extrapolation improves convergence to O(τ^4 + h^4).
• Numerical examples confirm second-order convergence and the effectiveness of REM in achieving fourth-order accuracy.
• The discrete operator D is strictly diagonally dominant and symmetric positive definite, ensuring invertibility and stability.
• Results are consistent with theoretical analysis across RFDE and RFADE cases with various α and β values.