[논문 리뷰] High-order residual distribution scheme for the time-dependent Euler equations of fluid dynamics

Rémi Abgrall, Paola Bacigaluppi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 11.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 31인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 다차원에서 시간에 의존하는 오일러 방정식을 위한 고차수의 명시적 잔차 분배 방법을 제시한다. 시간 적분은 연기 보정(Deferred Correction) 기법을 사용하고, 베르슈타인 다항식 기반의 형상 함수를 도입하여 공간 및 시간에서 임의의 차수 정확도를 달성한다. 이 방법은 큰 선형 시스템을 해결하지 않도록 하여 시간 업데이트 행렬을 대각행렬로 유지하고 역행렬 가능하게 하여, 강한 불연속성을 포함한 압축성 유동의 효율적이고 안정적이며 고차수 정확도를 갖는 시뮬레이션을 가능하게 한다. 벤치마크 문제를 통해 최적의 수렴 속도를 확보하였다.

ABSTRACT

In the present work, a high order finite element type residual distribution scheme is designed in the framework of multidimensional compressible Euler equations of gas dynamics. The strengths of the proposed approximation rely on the generic spatial discretization of the model equations using a continuous finite element type approximation technique, while avoiding the solution of a large linear system with a sparse mass matrix which would come along with any standard ODE solver in a classical finite element approach to advance the solution in time. In this work, we propose a new Residual Distribution (RD) scheme, which provides an arbitrary explicit high order approximation of the smooth solutions of the Euler equations both in space and time. The design of the scheme via the coupling of the RD formulation \cite{mario,abg} with a Deferred Correction (DeC) type method \cite{shu-dec,Minion2}, allows to have the matrix associated to the update in time, which needs to be inverted, to be diagonal. The use of Bernstein polynomials as shape functions, guarantees that this diagonal matrix is invertible and ensures strict positivity of the resulting diagonal matrix coefficients. This work is the extension of \cite{enumath,Abgrall2017} to multidimensional systems. We have assessed our method on several challenging benchmark problems for one- and two-dimensional Euler equations and the scheme has proven to be robust and to achieve the theoretically predicted high order of accuracy on smooth solutions.

연구 동기 및 목표

• 다차원 시간에 의존하는 쌍곡계를 위한 고차수, 명시적 유한요소 유형의 잔차 분배 방법을 개발한다.
• 기존의 유한요소 방법에서 발생하는 질량 행렬 역행렬 계산의 계산 블로킹 문제를 해결하기 위해 대각행렬 형태의 시간 업데이트 행렬을 가능하게 한다.
• 암시적 해법이나 큰 선형 시스템 없이 공간 및 시간에서 임의의 정확도를 확보한다.
• 베르슈타인 다항식을 형상 함수로 사용하여 시간 업데이트의 안정성과 양수성을 보장한다.
• 복잡한 유체역학 벤치마크 문제에서 매끄럽고 불연속적인 해에 대해 강건성과 최적의 수렴 속도를 입증한다.

제안 방법

• 베르슈타인 다항식을 형상 함수로 사용하여 전역적으로 연속적인 다항식 근사로 공간 이산화를 수립한다.
• 잔차 분배 프레임워크를 적용하여 자유도 간 잔차를 분할하면서도 보존성과 협소한 스텐실 성질을 유지한다.
• 시간 적분을 위해 연기 보정(DeC) 방법을 적용하여 시간 업데이트 행렬이 대각행렬이 되고 역행렬 가능하도록 한다.
• 베르슈타인 다항식의 성질을 활용하여 대각 행렬 요소의 엄격한 양수성을 확보한다.
• 전체 잔차를 부분 삼각형들에 대한 가중치 합으로 구성하여 유량의 일관된 고차수 재구성 가능성을 확보한다.
• 공간 잔차 분배와 시간 적분 간의 일관된 결합을 통해 공간 및 시간에서 모두 고차수 정확도를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스parser 질량 행렬을 포함한 큰 선형 시스템을 해결하지 않으면서도 다차원 쌍곡계에 대해 고차수 잔차 분배 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 암시적 해법 없이도 안정성과 정확도를 잃지 않고 고차수 유한요소 유형의 잔차 분배 방법에서 명시적 시간 적분을 달성할 수 있는가?
• RQ3 베르슈타인 다항식은 잔차 분배 방법에서 대각행렬이 되고 역행렬 가능한 시간 업데이트 행렬을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 제안된 방법은 매끄러운 해에서는 최적의 수렴 속도를 유지하면서도 강한 불연속성을 포함한 문제에 대해서도 강건성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 Sod의 충격파 튜브 문제 및 마하 3 스텝 문제와 같은 표준 벤치마크 문제에서 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 매끄러운 해에서 이론적 예측과 일치하는 관측 수렴 속도를 보이며 공간 및 시간에서 최적의 고차수 정확도를 달성한다.
• 베르슈타인 다항식의 사용으로 인해 시간 업데이트 행렬이 대각행렬이 되고 엄격히 양의 정부호가 되어 효율적인 명시적 시간 스텝이 가능해진다.
• 강한 충격이 존재하는 상황에서도 안정성과 강건성이 유지되며, 이는 双중 마하 반사 문제 및 마하 3 스텝 문제의 성공적인 해석을 통해 입증되었다.
• 粗격격망에서는 4차수 B3 방법이 삼중점과 같은 복잡한 충격 구조를 2차수 B1 방법보다 훨씬 우수하게 포착한다.
• 격자 해상도가 높아질수록 차수 증가에 따라 해의 품질이 뚜렷이 향상되며, 특히 더 높은 차수의 방법이 충격과 접촉 불연속성을 더 날카롭게 해석한다.