[논문 리뷰] High Order Semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin Method Coupled with Runge-Kutta Exponential Integrators for Nonlinear Vlasov Dynamics

Xiaofeng Cai, Sebastiano Boscarino외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 27.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 54인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 Vlasov 동역학을 위한 고차수 반라그랑주 불연속 갈레르킨 방법과 교환자 자유 룸케-쿠타 지수 적분법을 결합한 SLDG-RKEI 방법을 제안한다. 지수 적분법을 활용해 비선형 운반을 선형화함으로써, CFL 조건을 회피하면서 공간 및 시간에서 고차수 정확도를 달성하며, 이로 인해 큰 시간 스텝을 허용하고 Vlasov-Poisson 및 가이드센터 Vlasov 모델의 시뮬레이션에서 질량과 양의 성질을 유지할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper, we propose a semi-Lagrangian discontinuous Galerkin method coupled with Runge-Kutta exponential integrators (SLDG-RKEI) for nonlinear Vlasov dynamics. The commutator-free Runge-Kutta (RK) exponential integrators (EI) were proposed by Celledoni, et al. (FGCS, 2003). In the nonlinear transport setting, the RKEI can be used to decompose the evolution of the nonlinear transport into a composition of a sequence of linearized dynamics. The resulting linearized transport equations can be solved by the semi-Lagrangian (SL) discontinuous Galerkin (DG) method proposed in Cai, et al. (JSC, 2017). The proposed method can achieve high order spatial accuracy via the SLDG framework, and high order temporal accuracy via the RK EI. Due to the SL nature, the proposed SLDG-RKEI method is not subject to the CFL condition, thus they have the potential in using larger time-stepping sizes than those in the Eulerian approach. Inheriting advantages from the SLDG method, the proposed SLDG-RKEI schemes are mass conservative, positivity-preserving, have no dimensional splitting error, perform well in resolving complex solution structures, and can be evolved with adaptive time-stepping sizes. We show the performance of the SLDG-RKEI algorithm by classical test problems for the nonlinear Vlasov-Poisson system, as well as the Guiding center Vlasov model. Though that it is not our focus of this paper to explore the SLDG-RKEI scheme for nonlinear hyperbolic conservation laws that develop shocks, we show some preliminary results on schemes' performance on the Burgers' equation.

연구 동기 및 목표

• 유라지안 방법의 CFL 안정성 제약을 극복하는 비선형 Vlasov 동역학을 위한 고차수 수치적 스킴을 개발한다.
• 교환자 자유 룸케-쿠타 지수 적분법(RKEI)을 반라그랑주 불연속 갈레르킨(SLDG) 프레임워크와 결합하여 시간 정확도와 안정성을 향상시킨다.
• 고차원 시뮬레이션에서 질량 보존, 양의 성질 유지, 차원 분리 오차 방지를 확보한다.
• 복잡한 해상도를 갖는 운동학 플라즈마 모델에서 적응형 시간 스텝과 복잡한 위상공간 구조의 안정적 해상도를 가능하게 한다.
• Vlasov-Poisson 및 가이드센터 Vlasov 시스템의 고전적 테스트 문제에서 방법의 성능을 입증하며, 버거스 방정식에 대한 초보적 결과도 포함한다.

제안 방법

• 교환자 자유 룸케-쿠타 지수 적분법(RKEI)을 사용해 비선형 운반을 선형화된 역학의 순서로 분해한다.
• 각 선형화된 운반 방정식은 반라그랑주 불연속 갈레르킨(SLDG) 방법을 사용해 해석되며, 이는 고차수 공간 정확도와 질량 보존을 보장한다.
• 특성 추적은 시간을 거슬러 올라가 상류 노드를 찾기 위해 수행되며, 상류 요소 경계를 재구성하기 위해 2차 곡선을 가진 사다리형 요소를 사용한다.
• 선형 적분의 정확한 평가를 위해 상류 요소의 내부 및 외부 세그먼트를 식별하기 위해 클리핑 알고리즘을 적용한다.
• 상류 경계를 따라 선적분은 국소 변환에서 유도된 매개변수 좌표계에서 3점 가우스 적분법을 사용해 계산된다.
• 이 스킴은 적응형 시간 스텝을 지원하며, 차원 분리 오차를 방지하도록 설계되어 있어 복잡한 위상공간 구조의 고해상도 추적을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반라그랑주 불연속 갈레르킨 방법과 룸케-쿠타 지수 적분법을 결합한 고차수 방법이 비선형 Vlasov 동역학에서 시간 및 공간 정확도를 모두 높일 수 있는가?
• RQ2 SLDG-RKEI 방법이 CFL 조건을 제거하여 안정성에 손상 없이 더 큰 시간 스텝을 허용하는가?
• RQ3 SLDG-RKEI 방법이 Vlasov-Poisson 및 가이드센터 Vlasov 모델의 장기 시뮬레이션에서 질량과 양의 성질을 어느 정도 유지하는가?
• RQ4 이 방법은 위상공간 소용파 및 빔-플라즈마 불안정성과 같은 복잡한 위상공간 구조를 어떻게 해상도하는가?
• RQ5 SLDG-RKEI 프레임워크는 버거스 방정식에 대한 초보적 결과에서 보여지듯이 충격을 포함한 비선형 보존법칙으로 확장 가능한가?

주요 결과

• SLDG-RKEI 방법은 공간 정확도가 불연속 갈레르킨 프레임워크에 의해 결정되고 시간 정확도가 RKEI 스킴에 의해 결정되어 공간 및 시간에서 고차수 정확도를 달성한다.
• 반라그랑주 수식에 기반하여 CFL 조건에 대해 조건부로 안정적이지 않기 때문에, 표준 유라지안 방법보다 훨씬 큰 시간 스텝을 허용한다.
• 분포 함수의 질량과 양의 성질을 유지하며, 이는 운동학 시스템의 장기 시뮬레이션에 매우 중요하다.
• 차원 분리 오차 없이 위상공간 소용파 및 빔-플라즈마 불안정성과 같은 복잡한 해상도를 효과적으로 해소한다.
• 버거스 방정식에 대한 초보적 결과는 이 스킴이 충격 형성을 다룰 수 있음을 보여주지만, 이는 논문의 주요 초점은 아니다.
• 상류 재구성에 2차 곡선 사다리형 요소를 사용함으로써 특성 추적의 기하 정확도가 향상되어 전체 스킴의 강건성 향상에 기여한다.