[논문 리뷰] High-order Solution Transfer between Curved Triangular Meshes

Danny Hermes, Per-Olof Persson|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 16.

Dynamics and Control of Mechanical Systems참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 곡선 삼각형 메쉬 간의 고차원 해 전이를 위한 보존적 방법을 제시한다. 논문은 그린 정리를 통해 정확한 적분을 이용해 곡선 요소 간의 교차 영역에서 질량 행렬 곱을 계산하며, 이는 $\boldsymbol{\text{O}}(h^{p+1})$ 수렴을 달성한다. 이는 고차원 라그랑주 및 적응형 유한요소 시뮬레이션에서 정확하고 보존적인 메쉬 전이를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The problem of solution transfer between meshes arises frequently in computational physics, e.g. in Lagrangian methods where remeshing occurs. The interpolation process must be conservative, i.e. it must conserve physical properties, such as mass. We extend previous works -- which described the solution transfer process for straight sided unstructured meshes -- by considering high-order isoparametric meshes with curved elements. To facilitate solution transfer, we numerically integrate the product of shape functions via Green's theorem along the boundary of the intersection of two curved elements. We perform a numerical experiment and confirm the expected accuracy by transferring test fields across two families of meshes.

연구 동기 및 목표

• 고차원 등장적 곡선 삼각형 메쉬 간의 보존적 해 전이 알고리즘을 개발함으로써 유체역학 및 고체역학에서의 고정밀 시뮬레이션에 기여하고자 한다.
• 곡선 메쉬 요소의 겹침으로 인해 발생하는 비凸성 및 다중 구성 요소 교차 문제를 해결함으로써 기존의 메쉬 전이 방법의 복잡성을 완화하고자 한다.
• 라그랑주 및 ALE 방법에서 메쉬 적응 또는 재메시피케이션 과정에서 물리량(예: 질량, 에너지)의 전역 보존성을 확보하고자 한다.
• 기존의 직선 변을 가진 메쉬에 국한되어 있던 보존적 보간 기법을 곡선형 고차원 기하 구조로 확장하여 최적의 수렴 속도를 달성하고자 한다.

제안 방법

• 곡선 기부 및 목표 요소의 교차 영역을 따라 체적 적분을 경계 적분으로 변환하기 위해 그린 정리를 활용함으로써 정확한 수치 적분을 가능하게 한다.
• 2차 이상의 요소를 고려한 기하 알고리즘에 맞춘 베지에 삼각형 표현을 사용하여 곡선 경계를 모델링하고 교차를 계산한다.
• 기부 메쉬와 목표 메쉬 간의 모든 요소 쌍을 체계적으로 식별하고 처리하기 위해 확장 프론트 알고리즘을 적용함으로써 영역의 완전한 커버리지 확보를 목표로 한다.
• 다항식 곱의 사전 계산된 부정적분을 사용하여 결과로 나오는 곡선 다각형 교차 영역에서 고차원 적분을 수행함으로써 적분 오차를 방지한다.
• 형상 함수의 기저로 전역 좌표계를 사용함으로써 기부 및 목표 형상 함수의 곱이 다항식을 유지하게 하여 정확한 계수 계산 및 부정적분 평가가 가능하게 한다.
• 목표 메쉬의 질량 행렬을 사용한 갈레르킨 유형의 $L^2$-최소화 방법을 통해 이산 프로젝션 문제를 해결하며, 오차는 선형 시스템 해법 정밀도에 의해만 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비凸성 및 다중 구성 요소 교차를 보이는 고차원 등장적 곡선 삼각형 메쉬 간의 보존적 해 전이를 어떻게 달성할 수 있는가?
• RQ2 곡선 메쉬에서의 메쉬 전이 과정에서 물리량의 기계 정밀도 보존을 가능하게 하는 수치 적분 전략은 무엇인가?
• RQ3 비선형 기하 구조에도 불구하고 곡선 메쉬에서 고차원 해 전이에 대해 예상되는 $\text{O}(h^{p+1})$ 수렴 속도를 달성할 수 있는가?
• RQ4 다항식 곱의 부정적분과 그린 정리를 사용함으로써 표준 적분법에 비해 정확도와 안정성이 어떻게 향상되는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 $p$-차 등장적 곡선 삼각형 메쉬에서 해 전이에 대해 $\text{O}(h^{p+1})$ 수렴을 달성하며, 수치 실험을 통해 이론적 예측을 확인한다.
• 그린 정리를 통한 정확한 적분과 다항식의 정확한 부정적분을 활용함으로써 알고리즘이 기계 정밀도 수준에서 전역 보존성을 유지한다.
• 삼차 다항식 함수($\boldsymbol{\text{ζ}}_1$)의 경우, 등장적 매핑이 함수 공간을 변형함으로써 정확한 전이가 이루어지지 않음을 확인하였으며, 이는 곡선 요소의 기하학적 복잡성을 보여준다.
• 전역 좌표계 기반의 기저를 사용함으로써 다항식 곱과 그 부정적분을 정확히 계산할 수 있으며, 이는 적분 오차를 방지하고 알고리즘의 강건성을 향상시킨다.
• 확장 프론트 방법에 의해 데이터 교환 범위가 하위 영역 간에 제한되므로 알고리즘이 본질적으로 국소적이며 도메인 분할 기반으로 병렬화 가능하다.
• 연속 및 비연속 필드 모두에 대해 강건하며, 적분이 기부 및 목표 요소의 교차 영역에 국한되어 있으므로 국소 정확도가 유지된다.