[논문 리뷰] High Probability Work Efficient Parallel Algorithms

Chase Hutton, Adam Melrod|arXiv (Cornell University)|2026. 03. 01.

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한 줄 요약

이 논문은 다항로그 깊이 whp에서 폴리로그를 포함하여 O(n) 작업을 whp 달성하는 최초의 병렬 반정렬(parallel semisort)과 기대 작업 그래프 알고리즘을 가까운 확률로 선형 작업으로 전환하는 일반 프레임워크를 제공하며 MIS 및 (Δ+1)-coloring whp를 포함합니다.

ABSTRACT

Randomized parallel algorithms for many fundamental problems achieve optimal linear work in expectation, but upgrading this guarantee to hold with high probability (whp) remains a recurring theoretical challenge. In this paper, we address this gap for several core parallel primitives. First, we present the first parallel semisort algorithm achieving $O(n)$ work and $O( ext{polylog } n)$ depth whp, improving upon the $O(n)$ expected work bound of Gu et al. [SPAA 2015]. Our analysis introduces new concentration arguments based on simple tabulation hashing and tail bounds for weighted sums of geometric random variables. As a corollary, we obtain an integer sorting algorithm for keys in $[n]$ matching the same bounds. Second, we introduce a framework for boosting randomized parallel graph algorithms from expected to high probability linear work. The framework applies to \emph{locally extendable} problems -- those admitting a deterministic procedure that extends a solution across a graph cut in work proportional to the cut size. We combine this with a \emph{culled balanced partition} scheme: an iterative culling phase removes a polylogarithmic number of high-degree vertices, after which the remaining graph admits a balanced random vertex whp via a bounded-differences argument. Applying work-inefficient whp subroutines to the small pieces and deterministic extension across cuts yields overall linear work whp. We instantiate this framework to obtain $O(m)$ work and polylogarithmic depth whp algorithms for $(Δ+1)$-vertex coloring and maximal independent set.

연구 동기 및 목표

• 무작위 병렬 알고리즘에서 고확률(whp) 선형 작업 보장의 필요성을 제시한다.
• whp 최적의 semisort 알고리즘을 개발하고 불안정한 정수 정렬에 대한 결론을 도출한다.
• 기대 작업 그래프 알고리즘을 whp 선형 작업으로 업그레이드하는 일반 프레임워크를 제안한다.
• MIS 및 (Δ+1)-coloring에 대해 whp 선형 작업을 얻기 위해 프레임워크를 구현한다.
• whp 경계치를 뒷받침하기 위한 concentration 도구와 해싱 기법을 제시한다.

제안 방법

• 상향식 semisort 프레임워크를 사용하고 간단한 tabulation 해시와 기하 확률 변수의 가중합에 기초한 집중성 주장을 도입한다.
• 로컬 세미소팅 해시 테이블 접근법을 whp 선형 작업을 달성하기 위한 두 단계 해시 및 래디스 소트 스키마로 대체한다.
• 제거된 균형 분할(culled balanced partition)과 결정적 확장기(deterministic extenders)를 활용하여 그래프 분할을 whp 선형 작업으로 처리한다.
• 버킷 크기와 총 작업을 제어하기 위해 Chernoff-type의 집중성 한계와 기하형 확률 변수의 합과 같은 집중 경계를 적용한다.
• 프레임워크를 구현하여 (Δ+1)-coloring 및 MIS에 대해 O(m) whp 작업과 polylog 깊이 whp를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 병렬 아키텍처에서 semisort를 O(n) 작업 whp 및 polylog 깊이 whp로 달성할 수 있는가?
• RQ2 무작위 병렬 그래프 알고리즘을 기대 선형 작업에서 고확률 선형 작업으로 업그레이드하는 방법은?
• RQ3 bucket 크기와 재해시 기반 정렬 단계에 대해 whp 경계에서 엄격한 제어를 가능하게 하는 해싱/집중 도구는 무엇인가?
• RQ4 MIS 및 (Δ+1)-coloring과 같은 고전 그래프 문제에 대해 이 프레임워크가 whp 선형 작업을 제공할 수 있는가?
• RQ5 이 문제들에 대한 whp 보장을 업그레이드할 때 깊이의 함의는 무엇인가?

주요 결과

• O(n) 작업 whp 및 O(polylog n) 깊이 whp를 갖는 병렬 semisort가 존재한다.
• 불안정한 정수 정렬 알고리즘이 O(n) 작업 whp 및 O(polylog n) 깊이 whp를 가지는 결과로 도출된다.
• 제거된 균형 분할과 결정론적 확장기(det extenders)를 결합한 일반 프레임워크가 그래프 문제에 대해 whp 선형 작업을 제공한다.
• 프레임워크는 (Δ+1)-vertex coloring 및 MIS에 대해 O(m) whp 작업과 polylog 깊이 whp를 산출한다.
• 해싱 및 집중 경계가 semisort 및 그래프 프레임워크에서 기대 보장으로부터 whp 보장으로의 전이를 가능하게 한다.