[논문 리뷰] Higher categorified algebras versus bounded homotopy algebras

David Khudaverdyan, Ashis Kumar Mandal외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 30.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고차 범주적 구조를 통해 정의된 분류된 리 대수인 리 3대수와 특정 차수에서 이항 및 삼항 연산자가 0인 3항 리 ∞-대수 사이의 1대1 대응을 수립한다. 기본적인 질문을 해결하기 위해, 에일렌베르크-지르버 맵이 선형 n-범주에서 모나이드 구조를 유지하지 못함을 보여주며, 정규화된 네르브 간의 직접적인 체인 맵 구축을 방해하는 장애를 밝혀낸다.

ABSTRACT

We define Lie 3-algebras and prove that these are in 1-to-1 correspondence with the 3-term Lie infinity algebras whose bilinear and trilinear maps vanish in degree (1,1) and in total degree 1, respectively. Further, we give an answer to a question of [Roy07] pertaining to the use of the nerve and normalization functors in the study of the relationship between categorified algebras and truncated sh algebras.

연구 동기 및 목표

• 고차 선형 범주를 이용한 카테고리적 프레임워크에서 리 3대수를 정의하기.
• 특정 이항 및 삼항 연산자가 0이 되는 조건을 만족하는 리 3대수와 3항 리 ∞-대수 사이의 1대1 대응을 증명하기.
• 로이텐버그(2007)가 제기한 질문을 해결하기: 분류된 대수와 잘라낸 sh 대수를 연결하는 데 있어 네르브 및 정규화 함자 사용의 문제.
• 선형 n-범주의 모나이드 구조가 에일렌베르크-지르버 맵을 통한 체인 맵 구축에 장애가 되는 이유를 규명하기.

제안 방법

• 벡터 공간 위의 엄격한 3범주로서 리 3대수를 정의하고 추가적인 대수적 구조를 부여하기.
• 도르드-카인 대응을 사용하여 단순 벡터 공간을 비음수 차수의 체인 복합체와 연결하기.
• 선형 n-범주를 체인 복합체로 변환하기 위해 정규화된 네르브 함자 N을 구성하기.
• 두 정규화된 네르브의 곱과 범주 곱의 네르브를 연결하기 위해 에일렌베르크-지르버 맵 EZ를 적용하기.
• 선형 범주에서의 곱 ⊠이 함자적이지 않기 때문에, 에일렌베르크-지르버 맵이 분해 및 면 연산자와 가환하지 않는 것을 분석하기.
• 로다-피라시벨리 곱을 사용하더라도, 범주 곱의 정규화가 정규화된 복합체의 곱과 일치하지 않음을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 3대수의 정확한 카테고리적 정의는 무엇이며, 리 ∞-대수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 정규화 함자가 선형 n-범주의 모나이드 구조를 언제나 유지하는가?
• RQ3 왜 에일렌베르크-지르버 맵은 분류된 대수의 정규화된 네르브 간의 체인 맵을 유도하지 못하는가?
• RQ4 표준 호모로지 함자들을 통해 분류된 대수와 유계 sh 대수 사이의 대응을 수립할 수 있는가?
• RQ5 이 대응의 장애는 선형 n-범주의 모나이드 구조에 내재된 것인가?

주요 결과

• 리 3대수는 이항 연산자가 차수 (1,1)에서, 삼항 연산자가 총 차수 1에서 0이 되는 3항 리 ∞-대수와 1대1 대응된다.
• 정규화된 네르브 함자 N은 선형 n-범주의 구조를 유지하며, 이를 비음수 차수의 체인 복합체로 매핑한다.
• 에일렌베르크-지르버 맵 EZ는 약한 모나이드이며, 정규화된 네르브의 곱과 곱 범주의 정규화된 네르브 사이의 체인 맵을 제공한다.
• 정규화된 네르브의 곱을 정의하는 맵 ℓ_n이 면 연산자 및 분해 연산자와 가환하지 않음을 보여주며, 이는 근본적인 장애를 시사한다.
• 이 실패의 원인은 선형 범주에서의 곱 ⊠이 함자적이지 않기 때문이며, 이 비함자성은 EZ를 통한 체인 맵 구축을 불가능하게 한다.
• 로다-피라시벨리 곱을 사용하더라도, 등식 N(L ⊠ L') = N(L) ⊗_LP N(L')가 성립하지 않음을 확인하여, 장애가 구조적임을 확인한다.