[논문 리뷰] Higher codimension relative isoperimetric inequality outside a convex set

Brian Krummel|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 13.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^{n+1}$ 내부에 있는 볼록 집합 $\Sigma$ 밖에 위치한 $(m+1)$차원 면적 최소화 정수 흐름에 대해 높은 코디멘션 상대 이소페리메트릭 부등식을 날카롭게 확립한다. 이 부등식은 반평면 내에서 평면 반디스크가 유일하게 이소페리메트릭 비율의 하한을 도달함을 증명한다. 이 결과는 이전의 코디멘션 1의 결과를 확장하며, 기하측도론, 단조성 공식, 정수 흐름에 대한 컴팩턴스 정리의 도구를 사용하여 쇼의 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We consider an isoperimetric inequality for $(m+1)$-dimensional area minimizing submanifolds of arbitrary codimension which lie outside a convex set $\mathcal{K} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ and are bounded by a submanifold of $\mathbb{R}^{n+1} \setminus \mathcal{K}$ and the convex set $\mathcal{K}$. We show that the least value of the isoperimetric ratio is attained for an $(m+1)$-dimensional flat half-disk of $\mathbb{R}^{n+1}_+$. This extends prior work of Choe, Ghomi, and Ritoré in codimension one and proves a conjecture of Choe in the case of relative area minimizers.

연구 동기 및 목표

• 닫혀 있고 내부가 비어 있지 않은 볼록 집합 $\mathcal{K}$를 가진 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$에서 $(m+1)$차원 면적 최소화 정수 흐름에 대해 날카로운 상대 이소페리메트릭 부등식을 확립하는 것.
• 초콜릿, 고미, 리토레의 이전 코디멘션 1 결과를 임의의 코디멘션으로 확장하는 것.
• 높은 코디멘션에서 상대 면적 최소화자에 대해 쇼의 추측을 확인하는 것.
• 특이점과 경계 행동을 포함하여 볼록 집합 $\mathcal{K}$의 경계 근처에서 면적 최소화 흐름의 구조와 정칙성 분석하는 것.
• 콤팩턴스와 블로업 기법을 사용하여 최적의 이소페리메트릭 비율이 반평면 내에서 다중도 1의 평면 반디스크에서만 도달됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 특이점과 중복도를 允허하는 스무스 부분다양체의 일반화를 위해 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$에서 정수 흐름의 프레임워크를 사용하는 것.
• Federer-Fleming 컴팩턴스 정리를 적용하여, $\partial\mathcal{K}$ 위에 경계를 가진 $m$-흐름 $T$에 대해 $\partial R = T$인 면적 최소화 흐름 $R$의 존재를 확보하는 것.
• 문제를 유한한 볼록 집합 $\widetilde{\mathcal{K}} = \mathcal{K} \cap \overline{B_{2\rho^*}(0)}$로 국소화하기 위해 반경 $\rho^*$를 사용한 슬라이싱 추론을 적용하는 것.
• 최소화 수열의 점근적 행동을 연구하고 무한대에서 질량 집중을 배제하기 위해 단조성 공식과 탄젠트 콘 분석을 적용하는 것.
• 반사와 $\mathbb{R}^{n+1}$에서 표준 이소페리메트릭 부등식과의 비교를 통해 반평면 사례에서 날카로운 상수 $2^{-1/m}$을 도출하는 것.
• 반평면 내에서 다중도 1의 평면 반디스크일 때에만 이소페리메트릭 비율에서 등호가 성립함을 증명하기 위해, 반구의 면적-평균 곡률 특성과 안정성 논증을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $(m+1)$차원 면적 최소화 정수 흐름 $R$가 볼록 집합 $\mathcal{K}$ 밖에 있을 때, 상대 이소페리메트릭 비율 $\frac{\mathbf{M}(T)^{\frac{m+1}{m}}}{\mathbf{M}(R)}$의 날카로운 하한은 무엇인가? 이는 $\partial R = T$ 및 $\partial R \subset \partial\mathcal{K}$를 만족한다.
• RQ2 쇼의 추측에 따르면, 임의의 코디멘션에서 이 비율의 최소화자는 반평면 내 평면 반디스크 뿐일까? 이는 임의의 코디멘션에서 성립하는가?
• RQ3 특이점과 비직선 경계의 존재가 상대 면적 최소화자의 존재성과 정칙성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 정수 흐름 이론을 사용하여 코디멘션 1에서 높은 코디멘션으로 상대 이소페리메트릭 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ5 볼록 집합 $\mathcal{K}$의 역할은 무엇인가? 이는 최소화 흐름의 존재성과 날카로운 부등식의 타당성을 보장하는 데 어떤 기여를 하는가?

주요 결과

• 날카로운 상대 이소페리메트릭 부등식이 성립한다: $\frac{\mathbf{M}(T)^{\frac{m+1}{m}}}{\mathbf{M}(R)} \geq 2^{-1/m} \frac{\mathcal{H}^m(\partial \mathbb{B}^{m+1})^{\frac{m+1}{m}}}{\mathcal{H}^{m+1}(\mathbb{B}^{m+1})}$, 임의의 $m$차원 정수 흐름 $T$ 및 $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\mathcal{K}$ 내 $(m+1)$차원 면적 최소화 흐름 $R$에 대해 $\partial R = T$ 및 $\partial R \subset \partial\mathcal{K}$를 만족한다.
• 등호는 $R$이 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 내 다중도 1의 평면 반디스크일 때에만 성립한다. 즉, 반평면 내 반구이다.
• 이소페리메트릭 비율의 하한은 오직 이러한 평면 반디스크에서만 도달되며, 이는 상한의 날카로움을 증명한다.
• 큰 구 $B_{\rho^*}(0)$를 사용한 국소화 추론을 통해 비유한 경우를 유한한 볼록 집합 $\widetilde{\mathcal{K}}$로 환원하여, 이 부등식이 이미 알려진 경우로 환원된다.
• 블로업 추론과 컴팩턴스를 사용하여 무한대에서 질량 집중을 배제함으로써, 거의 최소화자들의 극한이 부등식을 만족함을 보장한다.
• 결과적으로 이는 정수 흐름 이론을 통해 이전의 코디멘션 1 결과를 임의의 코디멘션으로 확장함과 동시에 쇼의 추측을 상대 면적 최소화자에 대해 확인한다.