[논문 리뷰] Higher codimensional foliations and Kupka singularities

Maurício Corrêa, Omegar Calvo-Andrade외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 29.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소수 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 상에서 차원 $k > 1$와 코드레디언스 $\geq 1$를 가지며, 컴act하고 연결된 쿠퍼카 특이점 집합 성분을 가진 헬로모르픽 폴라션을 연구한다. 만약 횡방향 유형이 선형이고 양의 고유값을 가진다면, 폴라션은 유리 피브레이션 $\Phi: \mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-k}$여야 한다. 이 결과는 쿠퍼카 집합이 완전교차이거나 반사적 횡방향 유형을 가질 경우로도 확장되며, 비적분 가능 코드레디언스 1 분포에 대한 정규형을 유도하는 데 응용된다.

ABSTRACT

We consider holomorphic foliations of dimension $k>1$ and codimension $\geq 1$ in the projective space $\mathbb{P}^n$, with a compact connected component of the Kupka set. We prove that, if the transversal type is linear with positive integers eigenvalues, then the foliation consist on the fibers of a rational fibration. As a corollary, if $\mathcal{F}$ is a foliation such that $dim(\mathcal{F})\geq cod(\mathcal{F})+2$ and has transversal type diagonal with different eigenvalues, then the Kupka component $K$ is a complete intersection and we get the same conclusion. The same conclusion holds if the Kupka set is a complete intersection and has radial transversal type. Finally, as an application, we find a normal form for non integrable codimension one distributions on $\mathbb{P}^{n}$.

연구 동기 및 목표

• 복소수 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 상에서 차원 $k > 1$와 코드레디언스 $\geq 1$를 가지며, 컴act하고 연결된 쿠퍼카 특이점 집합 성분을 가진 헬로모르픽 폴라션을 특성화하는 것.
• 이러한 폴라션들이 유리 피브레이션으로 나타나는 조건을 규명하는 것.
• 쿠퍼카 집합이 완전교차이거나 반사적 횡방향 유형을 가질 경우로 특성화를 확장하는 것.
• 유도된 결과를 바탕으로 $\mathbb{P}^n$ 상의 비적분 가능 코드레디언스 1 분포에 대한 정규형을 도출하는 것.

제안 방법

• 지역 정규형과 횡방향 유형 분류를 사용하여 헬로모르픽 폴라션의 쿠퍼카 집합을 분석한다.
• 쿠퍼카 조건을 적용하여 폴라션이 선형 횡방향 구조를 가진 닫힌 형식으로 국소적으로 정의됨을 보인다.
• Baum–Bott 이론과 코homological 기법을 사용하여 쿠퍼카 집합의 기하학적 성질과 전역 피브레이션 간의 관계를 규명한다.
• Poincaré 보조정리와 다르부 유사 정리들을 사용하여 폴라션이 표준 형태를 가진 국소 좌표계를 구성한다.
• d\omega의 전역 분해 가능성과 반사 벡터장의 수축에 관한 결과를 적용하여 동차 다항식의 구조를 유도한다.
• 특히 $\text{cod}(\text{Sing}((d\omega)^r)) \geq 3$ 이라는 사실을 이용하여 $d\omega$의 전역 분해가 서로 다른 미분의 외적곱의 합으로 표현됨을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소수 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 상의 헬로모르픽 폴라션에서 컴act하고 연결된 쿠퍼카 성분과 양의 고유값을 가진 선형 횡방향 유형을 가진 경우, 이 폴라션이 유리 피브레이션으로 나타나는 조건은 무엇인가?
• RQ2 폴라션의 쿠퍼카 집합이 완전교차이어지는 조건은 무엇이며, 이는 어떤 전역적 구조를 암시하는가?
• RQ3 쿠퍼카 집합의 반사적 횡방향 유형이 폴라션을 유리 피브레이션으로 이끌 수 있는가?
• RQ4 복소수 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 상의 비적분 가능 코드레디언스 1 분포에 대해, 쿠퍼카 성분이 존재할 경우 어떤 정규형을 달성할 수 있는가?
• RQ5 d\omega의 전역 분해 가능성은 정의 1형식의 동차적 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 복소수 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 상의 헬로모르픽 폴라션이 컴act하고 연결된 쿠퍼카 성분을 가지며, 횡방향 유형이 선형이고 고유값이 양수일 경우, 이 폴라션은 유리 피브레이션 $\Phi: \mathbb{P}^n \dasharrow \mathbb{P}^{n-k}$여야 한다.
• 만약 $\dim(\mathcal{F}) \geq \text{cod}(\mathcal{F}) + 2$ 이고 횡방향 유형이 서로 다른 고유값을 가진 대각형일 경우, 쿠퍼카 성분 $K$는 완전교차이이며 폴라션은 유리 피브레이션이다.
• 쿠퍼카 집합이 완전교차이이고 반사적 횡방향 유형을 가질 경우, 폴라션은 다시 유리 피브레이션이다.
• 비적분 가능 코드레디언스 1 분포의 경우, 클래스 $r$ 이고 $\text{cod}(\text{Sing}((d\omega)^r)) \geq 3$ 를 만족할 때, 1형식 $\omega$ 는 $\mathbb{C}^{2r}$ 로의 서브머르피즘을 통해 표준형의 국소 끌어올림 형태로 표현된다.
• 1형식 $\omega$ 는 동차 다항식 $f_i$가 같은 차수를 가지는 조건 하에 전역적으로 $\sum_{i=0}^{r-1} (f_i df_{i+r} - f_{i+r} df_i)$ 형태를 가진다.
• d\omega 의 전역적 구조는 $\sum_{i=0}^{r-1} df_i \wedge df_{i+r}$ 로 표현되며, 이는 동차적이고 분해 가능함을 의미한다.