[논문 리뷰] Higher conformal variations and the Virasoro vertex operator algebra

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 07.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 구면 위의 동형사상 공간 위의 함수에 대한 변분법을 개발하며, 미소 변형을 기술하기 위해 벡터장을 사용한다. 고차 미분을 함수에 공액함으로써 바이러소로 바이어럴러 연산자 대수의 구조가 유도됨을 보이며, 이는 이전의 일阶 도함수와 스트레스-에너지 텐서 연구를 모든 후손과 다중 삽입으로 확장한다.

ABSTRACT

We develop a calculus of variations for functionals on certain spaces of conformal maps. Such a space Ω is composed of all maps that are conformal on domains containing a fix compact annular set of the Riemann sphere, and that are "sense-preserving". The calculus of variations is based on describing infinitesimal variations of such maps using vector fields. We show that derivatives of all orders with respect to such conformal maps, upon conjugation by an appropriate functional, give rise to the structure of the Virasoro vertex operator algebra. Our construction proceeds in three steps. We first put a natural topology on Ω and define smooth paths and an operation of differentiation to all orders ("conformal derivatives"). We then study certain second-order variational equations and their solutions. We finally show that such solutions give rise to representations of the Virasoro algebra in terms of conformal derivatives, from which follows constructions for the Virasoro vertex operator algebra. It turns out that series expansions of multiple covariant conformal derivatives are equal to products of multiple vertex operators. This paper extends a recent work by the author, where first-order conformal derivatives were associated with the stress-energy tensor of conformal field theory.

연구 동기 및 목표

• 고정된 컴acts한 원환형 집합을 포함하는 도메인에서 정의된 방향을 유지하는 동형사상의 공간 위의 함수에 대한 변분법을 수립한다.
• 이러한 사상의 위상공간 Ω에서 매끄러운 경로와 고차 미분 가능성(감마이드 도함수)을 정의한다.
• 이차 변분 방정식의 해가 감마이드 도함수를 통해 바이러소 대수의 표현을 유도함을 보인다.
• 이 표현들로부터 바이러소 바이어럴러 연산자 대수의 구조를 구성하며, 이는 등각(field theory)의 상관 함수와 연결된다.
• 이전의 일阶 감마이드 도함수와 스트레스-에너지 텐서 연구를 모든 후손과 상관 함수의 다중 삽입으로 확장한다.

제안 방법

• 리만 구면의 고정된 컴acts한 원환형 집합을 포함하는 도메인에서 정의된 방향을 유지하는 동형사상의 공간 Ω에 자연스러운 위상 구조를 도입한다.
• Ω에서의 매끄러운 경로를 정의하고, 벡터장을 미소 변형으로 사용하여 모든 차수의 감마이드 도함수의 개념을 개발한다.
• 이차 감마이드 미분방정식과 그 해를 연구하며, 특히 감마이드 가우시안과 관련된 해들을 다룬다.
• 감마이드 도함수를 사용하여 바이러소 대수의 표현을 구성하며, 바이러소 생성자를 함수에 대한 미분 연산자로 표현한다.
• 다중 공변 감마이드 도함수가 바이어럴러 연산자 대수의 다중 연산자 곱과 대응됨을 보여, 바이어럴러 연산자 대수의 구조를 확립한다.
• 감마이드 워드 항등식과 함수 공액을 통해 이 구성과 등각장 이론의 스트레스-에너지 텐서 및 그 후손들을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 특정 위상적 및 해석적 제약 조건을 갖는 동형사상 공간 위의 함수에 대한 변분법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 고차 감마이드 도함수가 동형사상 함수에 작용할 때 생성되는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 이차 감마이드 미분방정식의 해는 바이러소 대수의 표현과 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 다중 공변 감마이드 도함수는 바이어럴러 연산자 대수에서 다중 바이어럴러 연산자의 곱과 어떤 방식으로 대응되는가?
• RQ5 이 구성은 등각 루프 집합(CLE)에서 스트레스-에너지 텐서의 모든 후손을 랜덤 변수로 식별하는 데로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 고정된 컴acts한 원환형 집합을 포함하는 도메인에서 정의된 방향을 유지하는 동형사상의 공간 Ω는 자연스러운 위상 구조를 지녀, 매끄러운 경로와 모든 차수의 감마이드 도함수를 정의할 수 있다.
• 이차 감마이드 미분방정식의 해는 감마이드 도함수를 통해 바이러소 대수의 표현을 유도하며, 생성자는 미분 연산자로 표현된다.
• 함수의 다중 공변 감마이드 도함수는 바이어럴러 연산자 대수의 다중 바이어럴러 연산자 곱과 정확히 대응된다.
• 바이러소 바이어럴러 연산자 대수의 구조는 이러한 표현들로부터 구성되며, 감마이드 벡터 ω는 스트레스-에너지 텐서와 그 후손들을 통해 실현된다.
• 이 구성은 이전의 일阶 감마이드 도함수와 스트레스-에너지 텐서 연구를 상관 함수의 모든 후손과 다중 삽입으로 일반화한다.
• 이 틀은 등각 루프 집합(CLE)에서 전체 바이어럴러 연산자 대수의 구조를 식별하는 길을 제공하며, 대수적 방법을 통해 CFT를 CLE로부터 재구성할 수 있게 한다.