[논문 리뷰] Higher conservation laws for the quantum non-linear Schroedinger equation

Brian Davies, V. E. Korepin|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 29.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 양자 비선형 슈뢰딩거 방정식(QNLS)에서 고차 보존법칙의 일관성에 대한 오랫동안 제기된 우려를 해결한다. 양자 역산 스캐터링 방법(QISM)을 사용하여 $H_3$와 $H_4$의 명시적 형태를 구성함으로써, 이러한 연산자는 고전적 대응물의 정규 순서화로는 도출될 수 없으며, 준고전적 근사가 올바르게 작동함을 보여준다. 이는 QISM이 QNLS에 대해 타당함을 확인한다.

ABSTRACT

Quantum non-linear SCHROEDINGER equation is equivalent to Lieb-Liniger model. It has non-trivial conservation laws. Recently these conservation laws were used for evaluation of the three-body recombination rate for interacting gas of quantum bosons. These conservations laws were known already in 1989. Submitted text is retyping of the preprint of Centre for Mathematical Analysis of Australian National University CMA-R33-89. It was discussed in Leningrad Branch of the V.A. Steklov Mathematical Institute at that time. A copy of the original preprint can be found in the section Quantum Inverse Scattering Method of the web-page http://insti.physics.sunysb.edu/~korepin/

연구 동기 및 목표

• 고전적 보존법칙의 일관성에 대한 우려를 제기한 Gutkin(1985, 1988)의 논의를 해결하는 것.
• 나이브한 정규 순서화로 인한 문제를 피하기 위해, 두 번째 양자화 형태로 고차 해밀토니안 $H_3$와 $H_4$의 명시적이고 잘 정의된 형태를 구성하는 것.
• QISM이 고차 수준의 보존량을 올바르게 도출하고, 그 준고전적 근사가 고전적 기대와 일치하는지 확인하는 것.
• 정규 순서화로 고전적 전개식에서 기본 보존량 $A(\lambda)$의 점근 전개를 복원하지 못하는 이유를 명확히 하는 것.
• 양자 보정항이 $A(\lambda)$ 전개에 나타나며, 격자 정규화가 연속 근사에서 특이성을 다루는 데 일관된 프레임워크를 제공함을 확립하는 것.

제안 방법

• QISM을 사용하여 두 번째 양자화 형태로 $H_3$와 $H_4$를 명시적으로 구성함. $H_3 = \int dx\,\bigl\{\Psi^\dagger(x)\Psi_{xxx}(x) - \frac{3c}{2}\Psi^{\dagger}(x)^2(\Psi(x)^2)_x\bigr\}$.
• 특이한 연산자 곱으로 인해 고전적 보존량 $H_4^{\text{cl}}$의 정규 순서화로는 $H_4$를 얻을 수 없음을 보여주는 것.
• Bethe 안사트 고유함수 $\chi_N$를 사용하여 $H_3$와 $H_4$의 고유값이 각각 $i^3\sum \lambda_j^3$과 $\sum \lambda_j^4$임을 검증하는 것.
• $A(\lambda)$의 점근 전개를 $\lambda$의 음의 거듭제곱으로 분석하여, 정규 순서화로는 복원되지 않음을 보여주는 것.
• $A(\lambda)$의 상호연결 성질을 자유 및 상호작용하는 해밀토니안과 함께 사용하고, $x_j = x_k$에서의 경계 조건을 이용하여 유효 범위를 정의하는 것.
• 격자 정규화를 제어 수단으로 사용하여 연속 근사를 정당화하고, 고차 보존법칙에서의 순서화 모호성을 해결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 양자화 형태에서 고차 해밀토니안 $H_3$와 $H_4$의 명시적이고 잘 정의된 형태를 구성할 수 있는가?
• RQ2 QISM에서 도출된 고차 보존법칙의 준고전적 근사는 고전적 대응과 일치하는가?
• RQ3 왜 고전적 $H_4^{\text{cl}}$의 정규 순서화는 올바른 양자 $H_4$를 재현하지 못하는가?
• RQ4 고전적 전개식의 정규 순서화로부터 $\lambda$의 음의 거듭제곱 전개로 표현된 기본 보존량 $A(\lambda)$의 점근 전개를 복원할 수 있는가?
• RQ5 양자 보정항이 $A(\lambda)$ 전개에 나타나며, 만약 그렇다면 QISM의 구조와는 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 두 번째 양자화 형태로 표현된 $H_3$는 명시적으로 $H_3 = \int dx\,\bigl\{\Psi^\dagger(x)\Psi_{xxx}(x) - \frac{3c}{2}\Psi^{\dagger}(x)^2(\Psi(x)^2)_x\bigr\}$로 주어지며, 이는 고전적 $H_3^{\text{cl}}$의 정규 순서화로 유도될 수 없다.
• $H_4$는 고전적 $H_4^{\text{cl}}$의 나이브한 정규 순서화 형태로 표현될 수 없으며, 이는 $\delta^2(x_1 - x_2)$와 같은 잘 정의되지 않은 곱을 유도한다.
• 정확한 $H_4$는 QISM과 상호연결 관계를 통해 도출되며, 고전적 표현의 형식적 양자화로는 도출되지 않는다.
• $A(\lambda)$의 점근 전개가 $\lambda$의 음의 거듭제곱으로 표현될 때, 입자 충돌점에서의 특이성으로 인해 정규 순서화로 유도하면 올바른 미분 연산자가 복원되지 않는다.
• 양자 보정항이 $A(\lambda)$ 전개에 나타나며, $A_3$부터 시작되며, 고전적 또는 나이브한 양자화 절차로는 이를 포괄하지 못한다.
• QISM는 Bethe 안사트 고유함수와 그 고유값과 일관된 보존법칙을 생성하며, 이는 이전의 우려에도 불구하고 이 방법의 타당성을 확인한다.