[논문 리뷰] Higher-Dimensional Algebra V: 2-Groups

John C. Baez, Aaron D. Lauda|ArXiv.org|2003. 07. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 221

한 줄 요약

이 논문은 약한 및 일관된 2군—군 법칙이 주어진 동형사상에 따라 성립하는 분류된 군—에 대한 종합적인 소개를 제공한다. '개선' 2준수를 통해 약한 2군과 일관된 2군 사이의 2동치를 확립하고, 군 코homology를 사용하여 일관된 2군을 분류하며, 단순 연결된 컴팩트 단순 리 군 $G$ 에 대해 체인-시몬스 이론에서 유도된 리 2군 $G_\hbar$ 의 가족을 구성하여, $\hbar=0$ 이외의 경우 표준 위상구조를 갖는다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

A 2-group is a "categorified" version of a group, in which the underlying set G has been replaced by a category and the multiplication map has been replaced by a functor. Various versions of this notion have already been explored; our goal here is to provide a detailed introduction to two, which we call "weak" and "coherent" 2-groups. A weak 2-group is a weak monoidal category in which every morphism has an inverse and every object x has a "weak inverse": an object y such that x tensor y and y tensor x are isomorphic to 1. A coherent 2-group is a weak 2-group in which every object x is equipped with a specified weak inverse x* and isomorphisms i_x: 1 -> x tensor x* and e_x: x* tensor x -> 1 forming an adjunction. We describe 2-categories of weak and coherent 2-groups and an "improvement" 2-functor that turns weak 2-groups into coherent ones, and prove that this 2-functor is a 2-equivalence of 2-categories. We internalize the concept of coherent 2-group, which gives a quick way to define Lie 2-groups. We give a tour of examples, including the "fundamental 2-group" of a space and various Lie 2-groups. We also explain how coherent 2-groups can be classified in terms of 3rd cohomology classes in group cohomology. Finally, using this classification, we construct for any connected and simply-connected compact simple Lie group G a family of 2-groups G_hbar (for integral values of hbar) having G as its group of objects and U(1) as the group of automorphisms of its identity object. These 2-groups are built using Chern-Simons theory, and are closely related to the Lie 2-algebras g_hbar (for real hbar) described in a companion paper.

연구 동기 및 목표

• 초보자들을 위한 종합적인 자료가 부족한 상황를 감안해, 약한 및 일관된 2군에 대한 상세하고 접근 가능한 소개를 제공하는 것.
• 엄격한 2군, 교환 모듈, 범주군 등 2군의 다양한 표현 방식 간의 관계를 명확히 하는 것.
• 약한 2군의 2범주와 일관된 2군의 2범주 사이의 2동치를 '개선' 2준수를 통해 확립하는 것.
• 특히 $H^3(G,H)$ 를 사용하여 일관된 2군을 군 코homology를 통해 분류하고, 이를 바탕으로 새로운 리 2군의 예를 구성하는 것.
• 특히 표준 위상구조를 갖는 위상 또는 리 2군으로서 2군을 실현하는 데 있어 위상적 및 기하학적 제약 조건을 탐구하는 것, 특히 $\hbar \neq 0$ 인 비자명한 $G_\hbar$ 는 표준 위상으로 실현될 수 없다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 모든 사상과 대상이 약한 역원을 가지며, 일관성 동형사상이 만족되는 약한 모나드 범주로 약한 2군을 정의한다.
• 약한 2군에 대해 특정한 약한 역원과 수반 동형사상 $i_x: 1 \to x \otimes \bar{x}$, $e_x: \bar{x} \otimes x \to 1$ 가 주어진 경우를 일관된 2군으로 정의한다.
• 각 약한 2군에 대해 일관된 2군를 부여하는 '개선' 2준수를 구성하고, 이것이 2범주 사이의 2동치임을 증명한다.
• 유한 곱을 갖는 범주 내부에서 일관된 2군 개념을 내재화하여 리 2군과 특수 2군을 정의한다.
• 군 $G$, 아벨 군 $H$, $G$ 가 $H$ 에 작용하는 $α$ 를 고려하여 군 코homology $H^3(G,H)$ 를 사용하여 일관된 2군을 분류한다.
• 단순 연결된 컴팩트 단순 리 군 $G$ 에 대해, $G$ 를 객체의 군으로, 항등원의 자명변환군으로 $\mathrm{U}(1)$ 을 갖는 2군의 가족 $G_\hbar$ 를 체인-시몬스 이론을 통해 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 및 일관된 2군는 어떻게 정확히 정의되고, 수학적으로 엄밀하면서도 초보자에게 접근 가능한 방식으로 어떻게 구분할 수 있는가?
• RQ2 약한 2군의 2범주와 일관된 2군의 2범주 사이에 2범주적 동치가 존재하는가?
• RQ3 일관된 2군는 군 코homology를 통해 분류될 수 있으며, 이러한 분류는 그들의 구조에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ4 표준 위상구조를 갖는 위상 또는 리 2군로 실현하는 데 있어 2군 $G_\hbar$ 에 대한 위상적 장애물은 무엇인가?
• RQ5 체인-시몬스 이론은 주어진 리 군 $G$ 에 대해 어떤 방식으로 2군의 가족 $G_\hbar$ 를 유도하는가? 그리고 $\hbar \in \mathbb{Z}$ 는 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• '약한 2군에서 일관된 2군로의 '개선' 2준수는 2동치임을 보여주며, 일관성 조건이 일반성을 잃지 않음을 시사한다.
• 일관된 2군는 $[a] \in H^3(G, H)$ 를 포함하는 사중조합 $(G, H, \alpha, [a])$ 로 분류되며, 이는 완전한 코homological 분류를 확립한다.
• 연결된 컴팩트 리 군 $G$ 와 아벨 리 군 $H$ 에 대해 연속 코hom로직 $H^3_{\rm cont}(G,H)$ 는 자명하며, 이는 이러한 $G$ 와 $H$ 를 갖는 특수한 위상 2군은 항상 엄격한 2군과 동치임을 의미한다.
• 체인-시몬스 이론으로 유도된 2군 $G_\hbar$ 는 $\hbar = 0$ 일 때에만 엄격한 2군과 동치이며, 이는 비자명한 $\hbar$ 값은 표준 위상으로 실현될 수 없음을 보여준다.
• 단순 연결된 컴팩트 단순 리 군 $G$ 에 대해, 객체로 $G$ 를, 항등원의 내부자기변환군으로 $\mathrm{U}(1)$ 을 갖는 유일한 위상 2군은 $G_0$ 이며, 이는 $\hbar = 0$ 이 유일한 타당한 경우임을 증명한다.
• 체인-시몬스 이론을 통한 $G_\hbar$ 의 구성은, 동반 논문에서 기술된 리 2대수 $\mathfrak{g}_\hbar$ 와 밀접히 관련된 자연스러운 2군의 가족을 제공한다.