[논문 리뷰] Higher-dimensional Euclidean and non-Euclidean structures in planar circuit quantum electrodynamics

Alberto Saa, E. Miranda외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 19.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 1인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중 다리형 커패시티브 커플러(q ≥ 4)를 사용하여 평판형 회로 양자 전기역학(cQED) 플랫폼에서 고차원 유클리드 및 비유클리드 격자를 실현하는 것을 제안한다. 이는 효과적인 n차원 카고메 유사 구조(n-제올라이트)를 가능하게 하며, 평탄한 밴드와 강한 도전성(frustration)을 지원한다. 평탄한 밴드 상태의 비율에 대한 정확한 해석적 표현을 유도하였으며, 현재 기술 수준에서 실현 가능한 기하학적 구조의 범위를 크게 확장한다.

ABSTRACT

We show that a recent proposal for simulating planar hyperbolic lattices with circuit quantum electrodynamics can be extended to accommodate also higher dimensional lattices in Euclidean and non-Euclidean spaces if one allows for circuits with more than three polygons at each vertex. The quantum dynamics of these circuits, which can be constructed with present-day technology, are governed by effective tight-binding Hamiltonians corresponding to higher-dimensional Kagomé-like structures ($n$-dimensional zeolites), which are well known to exhibit strong frustration and flat bands. We analyze the relevant spectra of these systems and derive an exact expression for the fraction of flat-band states. Our results expand considerably the range of non-Euclidean geometry realizations with circuit quantum electrodynamics.

연구 동기 및 목표

• 2차원 격자를 초월한 평판형 cQED 플랫폼을 확장하기 위해 정점 연결성(connectedness)을 3 이상으로 증가시키는 것.
• 평판형 회로 레이아웃 내에서 유클리드 및 비유클리드 양의 고차원 기하학적 구조를 실현하는 것.
• 이러한 고차원 격자에서 평탄한 밴드 상태의 비율에 대한 정확한 해석적 표현을 유도하는 것.
• 현재 제조 기술로 q ≥ 4인 다중 다리형 커패시티브 커플러를 실현할 수 있음을 보여주는 것.
• 스펙트럼 성질 분석, 즉 최대 고유값의 범위와 평탄한 밴드 비율의 수렴 특성 분석.

제안 방법

• 단일 정점에서 q > 3개의 마이크로파 레조너를 연결하기 위해 대칭적인 별형 구조의 마이크로제조 구조를 사용한 q다리 커패시티브 커플러를 설계한다.
• 유도된 n차원 카고메 유사 구조(n-제올라이트) 격자에서 광자의 동역학을 모델링하기 위해 효과적 타이트-버인딩 해밀토니안을 사용한다.
• {p,q} 타일링의 동심 원형 레이아웃에서 정점, 변, 다각형의 수를 계산하기 위해 재귀 관계를 적용한다.
• 선형 그래프 인접행렬의 스펙트럼 분석을 통해 평탄한 밴드 상태의 비율에 대한 정확한 표현을 도출한다.
• 오일러의 공식과 재귀 해의 점근적 분석을 사용하여 대규모 쌍곡 및 유클리드 레이아웃에서의 극한 평탄한 밴드 비율을 결정한다.
• 기존의 행렬 스펙트럼 부등식을 활용하여 선형 그래프의 인접행렬 및 라플라시안 행렬의 최대 고유값에 대한 범위를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 연결성을 증가시킴으로써 평판형 cQED 플랫폼이 2차원을 초월한 고차원 격자를 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 다중 다리형 커패시티브 커플링을 통해 형성된 고차원 n-제올라이트 격자에서 평탄한 밴드 상태의 정확한 비율은 얼마인가?
• RQ3 대규모 쌍곡 및 유클리드 레이아웃에서 평탄한 밴드 비율은 어떻게 수렴하는가?
• RQ4 이러한 격자의 스펙트럼 성질, 예를 들어 고유값의 범위 등은 해석적으로 결정할 수 있는가?
• RQ5 기하학적 곡률(양 또는 음)이 시뮬레이션된 격자의 스펙트럼적 및 위상적 특성을 어떻게 형성하는가?

주요 결과

• 대규모 {p,q} 레이아웃에서 평탄한 밴드 상태의 비율은 σ−1 / σ+1로 수렴하며, 여기서 σ는 타일링의 기하학적 특성으로부터 유도된 재귀 행렬의 스펙트럼 반경이다.
• 쌍곡 타일링의 경우 평탄한 밴드 비율은 고리 수 ℓ에 대해 지수적으로 수렴하고, 유클리드 타일링의 경우 거듭제곱 법칙(O(1/ℓ))으로 수렴한다.
• 대규모 쌍곡 레이아웃에서 평균 차수 ⟨k⟩는 내부적으로 q-정규이지만, 외곽 고리의 차수 부족 정점으로 인해 q보다 엄밀히 작다.
• 선형 그래프 인접행렬 A_LG의 최대 고유값은 2와 2(q−1) 사이에 있으며, 레이아웃 그래프의 최소 및 최대 차수에 따라 더 날카운 범위로 제한된다.
• 선형 그래프 라플라시안 A_LG*의 최대 고유값은 q−2와 2(q−1) 사이에 있으며, 이는 기초 격자의 연결성과 곡률을 반영한다.
• 현재 마이크로제조 기술로 다중 다리형 커패시티브 커플러(q=4,5 등)를 실현할 수 있으며, 이는 평판형 cQED 시스템에서 고차원 격자의 실험적 실현 가능성을 보여준다.