[논문 리뷰] Higher equivariant and invariant topological complexity

Marzieh Bayeh, Soumen Sarkar|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 입력 점을 고려한 군 작용으로의 파르베르의 위상수학적 복잡도의 일반화로, 고차 등변 및 등변 위상수학적 복잡도를 도입한다. 이들 불변량에 대한 상한을 확립하고, 순간각 복합체에 대해 이를 계산하며, 고차 등변 위상수학적 복잡도가 등변 LS-카테고리에 의해 상한으로 제한됨을 보이며, 기저가 되는 단체 복합체의 최대 단체를 포함하는 명시적 공식을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce the concepts of higher equivariant and invariant topological complexity; and study their properties. Then we compare them with equivariant LS-category. We give lower and upper bounds for these new invariants. We compute some of these invariants for moment angle complexes.

연구 동기 및 목표

• 운동 계획에서 다중 입력 점을 포함한 군 등변 설정으로 위상수학적 복잡도를 일반화하기 위해.
• 군 작용 하에서의 불변량으로서 고차 등변 및 등변 위상수학적 복잡도를 정의하고 연구하기 위해.
• 이 새로운 불변량들이 등변 LS-카테고리와 어떻게 관련되어 있으며, 상한과 하한을 어떻게 확립할 수 있는지 분석하기 위해.
• 기저가 되는 단체 복합체로부터 유도된 순간각 복합체에 대해 이러한 불변량을 계산하기 위해.
• 이러한 위상수학적 불변량들이 스탠리-라이즈너 환과 제로-구배 총곱 길이와 같은 대수적 불변량과 어떻게 관련되는지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 콤��� 군 G가 X×X에 작용하는 대각 작용을 사용하여 고차 등변 위상수학적 복잡도를 도입하기 위해.
• G×G가 X×X에 작용하는 곱 작용을 사용하여 고차 등변 불변량을 정의하기 위해.
• 오빗 유형을 분류하고 오빗의 구조를 분석하기 위해 오빗 클래스와 오빗 다이어그램을 사용하기 위해.
• G-호모토피와 G-수축 가능성을 정의하여 G-카테고리 부분집합을 정의하고 등변 카테고리를 계산하기 위해.
• 약간의 가정 하에 등변 LS-카테고리의 곱 공식을 적용하여 상한을 유도하기 위해.
• 다각형 곱의 분해를 분석하고 최대 단체, 스탠리-라이즈너 환과의 관계를 이용하여 순간각 복합체에 대한 불변량을 계산하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동 계획에서 군 작용과 다중 입력 점을 포함한 위상수학적 복잡도는 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 고차 등변 위상수학적 복잡도, 고차 등변 불변량, 등변 LS-카테고리 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 고차 등변 불변량이 유한한가, 또는 무한한가? 어떤 조건에서 그러한 성질을 가진다?
• RQ4 순간각 복합체에서 고차 등변 및 등변 위상수학적 복잡도는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 이러한 위상수학적 불변량을 유계하거나 계산하는 데 사용할 수 있는 대수적 불변량(예: 제로-구배 총곱 길이)은 무엇인가?

주요 결과

• G-위상공간 X의 고차 등변 위상수학적 복잡도는 X가 T^m-연결일 경우 등변 LS-카테고리에 의해 상한으로 제한된다.
• 순간각 복합체 Z_K에 대해, 등변 LS-카테고리 cat_{T^m}(Z_K)는 단체 복합체 K의 최대 단체의 수와 같다.
• 공간에 최소한 두 개 이상의 최소 오빗 클래스가 존재하면 고차 등변 불변량은 무한하다.
• 고차 등변 위상수학적 복잡도 TC_{T^m,2}(Z_K)는 제로-구배 총곱 길이 ZCL(K)에 의해 하한으로 제한되고, 합 ∑_{i,j=1}^s (k_{ij}+1)에 의해 상한으로 제한되며, 여기서 k_{ij} = |([m]−σ_i) ∩ ([m]−σ_j)|이다.
• 순간각 복합체 Z_K는 T^m-연결이며, 이는 곱 작용을 통한 TC_{T^m,2}(Z_K)의 상한을 뒷받침한다.