[논문 리뷰] Higher Genus FJRW Invariants of a Fermat Cubic

Jun Li, Yefeng Shen외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 45인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 펌프트 쿠빅 랑드-긴즈부르크 공간에 대해, FJRW 이론과 구모브-위튼 이론의 준모듈러 형식 사이의 케일리 변환을 구축하여, 완전한 전-종수 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 대응을 확립한다. 모든 고종수 FJRW 불변량이 1종수 주요 불변량이 만족하는 초자 수식을 따르며, 타원 곡선의 구모브-위튼 불변량을 통해 계산되며, 이는 해석적 이상 방정정식과 바이라소로 제약 조건을 드러낸다.

ABSTRACT

We reconstruct the all-genus Fan-Jarvis-Ruan-Witten invariants of a Fermat cubic Landau-Ginzburg space $(x_1^3+x_2^3+x_3^3: [\mathbb{C}^3/ \mathboldμ_3] o \mathbb{C})$ from genus-one primary invariants, using tautological relations and axioms of Cohomological Field Theories. These genus-one invariants satisfy a Chazy equation by the Belorousski-Pandharipande relation. They are completely determined by a single genus-one invariant, which can be obtained from cosection localization and intersection theory on moduli of three spin curves. We solve an all-genus Landau-Ginzburg/Calabi-Yau Correspondence Conjecture for the Fermat cubic Landau-Ginzburg space using Cayley transformation on quasi-modular forms. This transformation relates two non-semisimple CohFT theories: the Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory of the Fermat cubic polynomial and the Gromov-Witten theory of the Fermat cubic curve. As a consequence, Fan-Jarvis-Ruan-Witten invariants at any genus can be computed using Gromov-Witten invariants of the elliptic curve. They also satisfy nice structures including holomorphic anomaly equations and Virasoro constraints.

연구 동기 및 목표

• 펌프트 쿠빅 랑드-긴즈부르크 공간에 대한 전-종수 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 대응 추측을 해결하기 위해.
• 타우토로지컬 관계와 CohFT 공리계를 이용해 고종수 FJRW 불변량을 1종수 주요 불변량으로 재구성하기 위해.
• FJRW 불변량이 모듈러 성질을 통해 해석적 이상 방정정식과 바이라소로 제약 조건을 만족함을 보여주기 위해.
• 준모듈러 형식에 대한 케일리 변환을 통해 타원 곡선의 구모브-위튼 불변량을 이용해 FJRW 불변량을 계산하기 위해.
• 1종수 FJRW 불변량이 단일 불변량으로 완전히 결정됨을 보이며, 이는 코시온 로컬라이제이션과 3-스핀 곡선의 매니볼로지 공간 위의 교차 이론을 통해 계산됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 고종수 FJRW 불변량을 1종수 주요 불변량으로 줄이기 위해 타우토로지컬 관계와 Cohomological Field Theory (CohFT) 공리계를 사용한다.
• 벨로루스키-판다리파데 관계를 적용하여 1종수 불변량에 대한 초자 미분방정식을 유도한다.
• 세 개의 스팟 곡선의 매니볼로지 공간 위에서 코시온 로컬라이제이션과 교차 이론을 사용해 단일 1종수 FJRW 불변량을 계산한다.
• 타원 곡선의 GW 이론의 $I$-함수와 펌프트 쿠빅의 FJRW 이론의 $I$-함수 사이에 케일리 변환을 구축한다.
• $I$-함수를 모듈러 형식과 연결하고, 이들이 모듈러 곡선 $\Gamma(3)\backslash\mathbb{H}^*$ 위에서 $K_{\rm Σ}^{1/2}$의 동일한 해석적 섹션을 묘사함을 보여준다.
• 프레임 변환을 통한 모듈러 완비화를 이용해 양측의 정적 상관 함수를 연결하고, 모듈러 변환과 해석적 연장 하에 동치임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 펌프트 쿠빅의 전-종수 FJRW 불변량은 1종수 주요 불변량으로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 펌프트 쿠빅의 1종수 FJRW 불변량은 어떻게 결정되며, 어떤 미분방정식을 만족하는가?
• RQ3 펌프트 쿠빅의 FJRW 이론과 타원 곡선의 구모브-위튼 이론을 연결하는 정확한 수학적 메커니즘은 무엇인가?
• RQ4 FJRW 불변량은 해석적 이상 방정정식과 바이라소로 제약 조건을 만족하는가? 만약 그렇다면, 이러한 구조는 어떻게 실현되는가?
• RQ5 준모듈러 형식에 대한 케일리 변환은 어떤 방식으로 모든 종수에서 Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 대응을 암시하는가?

주요 결과

• 펌프트 쿠빅의 모든 고종수 FJRW 불변량은 단일 1종수 주요 불변량에 의해 완전히 결정된다.
• 1종수 주요 불변량은 벨로루스키-판다리파데 관계로부터 도출된 초자 방정식을 만족한다.
• 1종수 불변량은 코시온 로컬라이제이션과 3-스핀 곡선의 매니볼로지 공간 위의 교차 이론을 통해 계산된다.
• Landau-Ginzburg/Calabi-Yau 대응은 GW 이론과 FJRW 이론의 $I$-함수 사이의 케일리 변환을 통해 실현된다.
• 어느 종수에서든 FJRW 불변량은 준모듈러 형식의 모듈러 변환을 통해 타원 곡선의 구모브-위튼 불변량으로 계산 가능하다.
• 양측의 정적 상관 함수는 모듈러 완비화를 통해 연결되며, 양식 $(I_0^\clubsuit)^{2-2g} \langle \cdots \rangle^{\widehat{\leavevmode\nobreak\ }} (d\tau^\clubsuit)^{\otimes n}$ 은 모듈러 곡선 $\Gamma(3)\backslash\mathbb{H}^*$ 위에서 $K_{\mathcal{M}}^{\otimes n}$ 의 글로벌 섹션이다.