[논문 리뷰] Higher genus Gromov-Witten theory of the Hilbert scheme of points of the plane and CohFTs associated to local curves

Rahul Pandharipande, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 미분방정식의 해석적 계속과 R-행렬 분류를 이용하여, $\mathbb{C}^2$ 위의 $n$개 점의 Hilbert 스킴의 Gromov-Witten 이론, 그 대칭적 곱의 오비폴드 Gromov-Witten 이론, 국소 곡선의 Donaldson-Thomas 이론 사이의 완전한 고유도 등가를 수립한다. 주요 결과는 모든 고유도에서의 완전한 삼각형 등가 관계를 증명함으로써, Givental-Teleman 이론과 CohFT를 통해 캐프탈 해소 추측의 한 경우를 증명하는 것이다.

ABSTRACT

We study the higher genus equivariant Gromov-Witten theory of the Hilbert scheme of n points of the plane. Since the equivariant quantum cohomology is semisimple, the higher genus theory is determined by an R-matrix via the Givental-Teleman classification of Cohomological Field Theories (CohFTs). We uniquely specify the required R-matrix by explicit data in degree 0. As a consequence, we lift the basic triangle of equivalences relating the equivariant quantum cohomology of the Hilbert scheme and the Gromov-Witten/Donaldson-Thomas correspondence for 3-fold theories of local curves to a triangle of equivalences in all higher genera. The proof uses the previously determined analytic continuation of the fundamental solution of the QDE of the Hilbert scheme. The GW/DT edge of the triangle in higher genus concerns new CohFTs defined by varying the 3-fold local curve in the moduli space of stable curves. The equivariant orbifold Gromov-Witten theory of the symmetric product of the plane is also shown to be equivalent to the theories of the triangle in all genera. The result establishes a complete case of the crepant resolution conjecture.

연구 동기 및 목표

• CohFT 분류를 이용하여 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 알려진 단순화된 양자코호몰로지로부터 고유도 Gromov-Witten 불변량을 재구성하는 것.
• 모든 고유도에서 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 Gromov-Witten 이론, $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$의 오비폴드 Gromov-Witten 이론, 국소 곡선의 Donaldson-Thomas 이론 사이의 완전한 삼각형 등가 관계를 수립하는 것.
• 세 이론 간의 R-행렬을 매칭시킴으로써 $\mathbb{C}^2$ 위의 $n$개 점의 Hilbert 스킴에 대한 캐프탈 해소 추측을 증명하는 것.
• 양자 미분방정식의 해를 해석적으로 계속시켜 $q = -1$에서의 비자명한 R-행렬 매칭을 해결하는 것.

제안 방법

• Givental-Teleman의 Cohomological Field Theories (CohFTs) 분류를 활용하여, $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 등변 양자코호몰로지의 단순성에 기반해 R-행렬을 이용해 고유도 불변량을 재구성한다.
• 명시적인 0차 차수 데이터를 사용하여 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 R-행렬을 구성하고, 변수 치환 $-q = e^{iu}$를 통해 $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$의 R-행렬과 매칭시킨다.
• 논문 [30]에서 계산된 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 양자 미분방정식(QDE)의 기본 해를 해석적으로 계속시켜, R-행렬을 $q=0$에서 $q=-1$으로 확장함으로써 대칭적 곱 이론과의 비교를 가능하게 한다.
• 창조 및 소멸 연산자가 진공 상태 벡터 위에 작용하여 Nakajima 기저를 생성하는 포크 공간 형식을 사용하여 코호몰로지 및 양자코호몰로지를 기술한다.
• $|\mu\rangle \mapsto |\widetilde{\mu}\rangle$를 통한 상태 공간 $\mathsf{V}$와 $\widetilde{\mathsf{V}}$ 사이의 동형사상을 수립하고, 양자 매개변수를 $-q = e^{iu}$로 연결한다.
• 변수 치환과 상태 공간의 식별 아래에서 미분방정식과 R-행렬의 매칭을 검증함으로써, 전체 CohFT 등가 관계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Givental-Teleman 형식론을 사용하여, 단순화된 양자코호몰로지로부터 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 고유도 Gromov-Witten 이론을 완전히 재구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 고유도에서 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 Gromov-Witten 이론, $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$의 오비폴드 Gromov-Witten 이론, 국소 곡선의 Donaldson-Thomas 이론 사이에 완전한 등가 관계가 존재하는가?
• RQ3 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 R-행렬을 $q=0$에서 $q=-1$으로 어떻게 확장하여 대칭적 곱 이론과 비교할 수 있는가?
• RQ4 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 QDE 해를 해석적으로 계속시키는 것이 $q = -1$에서 비자명한 R-행렬 매칭을 가능하게 하는가?
• RQ5 모든 고유도에서 CohFT 등가의 삼각형을 통해 $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$에 대한 캐프탈 해소 추측을 완전히 검증할 수 있는가?

주요 결과

• $-q = e^{iu}$ 변수 치환 후, $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 $q = -1$에서의 R-행렬이 $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$의 $u = 0$에서의 R-행렬과 일치하여 전체 CohFT 등가 관계를 실현한다.
• 모듈리 공간의 안정 곡선에서 3차원 국소 곡선을 변화시켜 정의된 새로운 CohFT를 통해 국소 곡선의 GW/DT 대응이 모든 고유도로 확장된다.
• 등변 오비폴드 Gromov-Witten 이론의 $\mathsf{Sym}^n(\mathbb{C}^2)$는 모든 고유도에서 삼각형 이론들과 등가이며, 이 경우에 대한 캐프탈 해소 추측을 완성한다.
• $\mathsf{Hilb}^n(\mathbb{C}^2)$의 양자 미분방정식(QDE) 해가 $q=0$에서 $q=-1$로 해석적으로 계속되어, 비자명한 R-행렬 매칭 문제를 해결한다.
• 완전한 삼각형 등가 관계가 수립된다: $\Omega_{g,r} = \widetilde{\Omega}_{g,r}$, $\mathsf{V} \to \widetilde{\mathsf{V}}$ 및 $-q = e^{iu}$ 조건 하에, 그리고 쌍대 변환 하에 $\widetilde{\Lambda}_{g,r} = \Lambda_{g,r}$.
• 모든 고유도에서 GW/DT 매칭이 성립한다: $\widetilde{\Lambda}_{g,r} = \Lambda_{g,r}$, $\widetilde{\mathsf{V}} \leftarrow \mathsf{V}$ 및 $-q = e^{iu}$ 조건 하에, 고유도 대응 관계를 확인한다.