[논문 리뷰] Higher genus relative and orbifold Gromov-Witten invariants of curves

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 충분히 큰 $ r $ 에서 $ r $-번째 루트 스택에서의 오르비포르트 Gromov-Witten 불변량의 $ r^0 $-계수와 상대 불변량이 일치함을 보여, 고유수 1 이상인 매끄러운 곡선에 대한 상대 및 오르비포르트 Gromov-Witten 불변량 사이의 정확한 대응 관계를 확립한다. 이 작업은 Abramovich-Cadman-Wise의 결과를 고유수로 일반화하며, 두 이론 간의 정적 불변량이 동일함을 증명함으로써 새로운 증명을 가능하게 하고, 정적 오르비포르트 불변량에 대한 GW/H 대응 관계를 수립한다.

ABSTRACT

Given a smooth target curve $X$, we explore the relationship between Gromov-Witten invariants of $X$ relative to a smooth divisor and orbifold Gromov-Witten invariants of the $r$-th root stack along the divisor. We proved that relative invariants are equal to the $r^0$-coefficient of the corresponding orbifold Gromov-Witten invariants of $r$-th root stack for $r$ sufficiently large. Our result provides a precise relation between relative and orbifold invariants of target curves generalizing the result of Abramovich-Cadman-Wise to higher genus invariants of curves. Moreover, when $r$ is sufficiently large, we proved that relative stationary invariants of $X$ are equal to the orbifold stationary invariants in all genera. Our results lead to some interesting applications: a new proof of genus zero equality between relative and orbifold invariants of $X$ via localization; a new proof of the formula of Johnson-Pandharipande-Tseng for double Hurwitz numbers; a version of GW/H correspondence for stationary orbifold invariants.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 곡선의 고유수 1 이상인 불변량으로 Abramovich-Cadman-Wise의 상대 및 오르비포르트 불변량 간 대응 관계를 일반화한다.
• 충분히 큰 $ r $ 에서 매끄러운 곡선 $ X $ 의 상대 정적 불변량이 모든 고유수에서 오르비포르트 정적 불변량과 일치함을 확립한다.
• 로컬라이제이션 및 새로운 대응 관계를 활용하여 기존의 공식, 특히 Johnson-Pandharipande-Tseng의 이중 히르츠 수 공식에 대한 새로운 증명을 제공한다.
• 곡선에 대한 정적 오르비포르트 불변량에 대한 GW/H 대응 관계의 버전을 개발한다.

제안 방법

• 매끄러운 곡선 $ X $ 의 매끄러운 부분다양체에 沿해 $ r $-번째 루트 스택을 구성하며, 오르비 구조를 모델링하기 위해 대수적 스택을 사용한다.
• 루트 스택의 오르비포르트 불변량과 $ X $ 의 상대 불변량을 연결하기 위해 $ r $ 에 대한 생성함수를 사용하며, 특히 $ r^0 $-계수에 집중한다.
• 루트 스택으로의 안정 사상의 매니폴드에 로컬라이제이션 기법을 적용하여, 특히 고유수 0에서 상대 불변량과 오르비포르트 불변량이 동일함을 증명한다.
• 루트 스택의 구조를 활용하여 정적 불변량이 $ r \to \infty $ 일 때 동일한 값으로 수렴함을 보여, 상대 불변량과의 일치를 유도한다.
• $ r^0 $-계수 추출을 핵심 메커니즘으로 삼아, 오르비포르트 불변량으로부터 상대 불변량을 복원한다.
• 이 대응 관계를 적용하여, 이중 히르츠 수에 대한 Johnson-Pandharipande-Tseng 공식과 같은 기존 결과의 새로운 증명을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 충분히 큰 $ r $ 에서 매끄러운 곡선 $ X $ 의 상대 Gromov-Witten 불변량은 그의 $ r $-번째 루트 스택의 오르비포르트 불변량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 상대 정적 불변량이 $ r \to \infty $ 일 때, $ r $-번째 루트 스택의 오르비포르트 불변량의 $ r^0 $-계수로 복원될 수 있는가?
• RQ3 상대 및 오르비포르트 불변량 간의 대응 관계는 고유수 0을 초월한 고유수 불변량으로까지 확장 가능한가?
• RQ4 이 구조를 통해 곡선에 대한 정적 오르비포르트 불변량에 대한 GW/H 대응 관계를 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 이 틀을 통해 로컬라이제이션 기법을 활용하여, 이중 히르츠 수에 대한 Johnson-Pandharipande-Tseng 공식과 같은 기존 공식을 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 충분히 큰 $ r $ 에서 매끄러운 곡선 $ X $ 의 상대 Gromov-Witten 불변량은 그에 대응하는 $ r $-번째 루트 스택의 오르비포르트 불변량의 $ r^0 $-계수와 일치한다.
• 충분히 큰 $ r $ 에서 모든 고유수에서 $ X $ 의 상대 정적 불변량은 $ r $-번째 루트 스택의 오르비포르트 정적 불변량과 일치한다.
• 루트 스택 구조에 적용된 로컬라이제이션 기법을 통해 고유수 0에서 상대 및 오르비포르트 불변량 간의 등가성에 대한 새로운 증명을 확보하였다.
• Johnson-Pandharipande-Tseng의 이중 히르츠 수 공식은 상대 및 오르비포르트 불변량 간의 대응 관계를 활용하여 재증명되었다.
• 곡선에 대한 정적 오르비포르트 불변량에 대한 GW/H 대응 관계의 버전이 확립되었으며, 이는 기존 대응 관계를 이 설정으로까지 확장한 것이다.