[논문 리뷰] Higher Green's functions for modular forms

Anton Mellit|ArXiv.org|2008. 04. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 형식에 대한 고차 Green 함수와 타원 곡선의 거듭제곱 위의 고차 초평면 사이의 연결을 확립하며, CM 점에서 Green 함수의 값이 대수적 수의 로그의 대수적 배수임을 증명한다. $̳\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, 그리고 한 변이 $̳\mathrm{i}$일 경우, 이러한 값을 계산하는 데 사용되는 명시적 고차 사이클을 구성하여, Abel-Jacobi 사상과 코homological 기법을 통해 이 경우의 대수성 추측을 확인한다.

ABSTRACT

Higher Green functions are real-valued functions of two variables on the upper half plane which are bi-invariant under the action of a congruence subgroup, have logarithmic singularity along the diagonal, but instead of the usual equation $Δf=0$ we have equation $Δf = k(1-k) f$. Here $k$ is a positive integer. Properties of these functions are related to the space of modular forms of weight $2k$. In the case when there are no cusp forms of weight $2k$ it was conjectured that the values of the Green function at points of complex multiplication are algebraic multiples of logarithms of algebraic numbers. We show that this conjecture can be proved in any particular case if one constructs a family of elements of certain higher Chow groups on the power of a family of elliptic curves. These families have to satisfy certain properties. A different family of elements of Higher Chow groups is needed for a different point of complex multiplication. We give an example of such families, thereby proving the conjecture for the case when the group is $PSL_2(\mathbf Z)$, $k=2$ and one of the arguments is $\sqrt{-1}$.

연구 동기 및 목표

• 무게 $2k$의 정점 형식이 존재하지 않을 때, 고차 Green 함수가 CM 점에서 대수적 수의 로그의 대수적 배수임을 보이는 추측을 증명하기 위해.
• 고차 Green 함수와 타원 곡선의 거듭제곱 위의 고차 초평면 사이의 일반적인 프레임워크를 수립하기 위해.
• 고차 사이클의 명시적 가닥을 $E^{2k-2}$ 위에 구성하여, 교차 이론과 Abel-Jacobi 사상을 통해 Green 함수의 값을 계산하기 위해.
• 특수한 경우 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, $\tau_2 = \mathrm{i}$에서 관련 교차 수를 계산하여 추측을 확인하기 위해.
• $\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right)$에서 Green 함수의 값이 $\frac{8}{\sqrt{7}}\log(8 - 3\sqrt{7})$임을 보여 대수성을 확인하기 위해.

제안 방법

• 타원 곡선 $E$가 가닥 $\{E_s\}_{s \in S}$에 의해 매개화된 경우, codimension $k-1$ 부분다양체와 분모 합이 0인 유리 함수를 사용하여 $CH^k(E^{2k-2}, 1)$ 내에 고차 사이클을 구성한다.
• 이 사이클에 Abel-Jacobi 사상 $AJ^{k,1}$을 적용하여, $F^k$와 $2\pi i H^{2k-2}(E^{2k-2}, \mathbb{Z})$를 포함하는 복소 코homology 군의 몫으로 사상한다.
• 표준 코homology 클래스 $[\theta] \in H^2(E^2, \mathbb{C})$를 $\frac{\omega \otimes \bar\omega + \bar\omega \otimes \omega}{\int_E \omega \wedge \bar\omega}$로 표현하여 쌍선형 형태를 정의한다.
• 실수 부분을 평가하여 $\Re\left(\mathrm{i}^{k-1}(AJ^{k,1}[x], [\theta]^{k-1})\right)$를 계산함으로써, Green 함수 값에 해당하는 실수를 추출한다.
• 특히 $k=2$인 경우, 곡선 $W$와 Heegner 사이클의 변형 $\Gamma_\phi$의 교차를 통해 $E^2$ 위에 특정한 고차 사이클 가닥을 구성하고, 교차 수를 명시적으로 계산한다.
• 알제브라적 기하학 기법을 사용하여, $\mathbb{Q}(\mu, \mathrm{i})$에서의 노름 계산을 수행하며, 여기서 $\mu = \sqrt{7}$이다. 교차점에서 함수 값의 곱을 평가하고, 로랑 전개를 통해 무한대에서의 기여를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차 Green 함수의 CM 점에서의 대수성 추측은 고차 초평면 사이클과 Abel-Jacobi 사상을 통해 증명될 수 있는가?
• RQ2 $\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, $\tau_2 = \mathrm{i}$일 때, $G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}(\tau_1, \mathrm{i})$의 값은 대수적 수의 로그의 대수적 배수인가?
• RQ3 고차 사이클의 가닥 $CH^2(E_s^2, 1)$이 존재하여, 그 Abel-Jacobi 이미지가 CM 점 $\tau_1$에서의 Green 함수 값을 계산할 수 있는가?
• RQ4 $\tau_1 = \frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}$일 때, $G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}(\tau_1, \mathrm{i}) = (D_1 D_2)^{-(1/2)} \log \alpha$를 만족하는 정확한 대수적 수 $\alpha$는 무엇인가?
• RQ5 알제브라적 기하학과 코homological 쌍선형 형태를 사용하여, 고차 사이클과 Heegner 사이클의 교차 수를 명시적으로 어떻게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 고차 사이클의 가닥을 $E^2$ 위에 구성함으로써, $̳\Gamma = \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$, $k=2$, $\tau_2 = \mathrm{i}$인 경우 추측이 증명되었으며, 이 사이클의 교차 수가 Green 함수의 값을 계산한다.
• 점 $\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right)$에서 Green 함수의 값은 $G_2^{\mathfrak{H}/\Gamma}\left(\frac{-1 + \sqrt{-7}}{2}, \mathrm{i}\right) = \frac{8}{\sqrt{7}}\log(8 - 3\sqrt{7})$로 주어지며, 이는 대수성을 확인한다.
• 고차 사이클과 Heegner 사이클 $Z_\tau$의 교차 수는 $u^8$이며, 여기서 $u = -1 + \sqrt{7} - 2\mathrm{i} - \mathrm{i}\sqrt{7}$는 $\mathbb{Z}[\sqrt{7}, \mathrm{i}]$의 단위원이다.
• 계산에는 네 개의 유한 교차점과 하나의 무한대에서의 기여가 포함되며, 후자는 $-2b u^3$의 요소로 기여한다. 여기서 $b$는 상수이다.
• $\mathbb{Q}(\mu, \mathrm{i})$에서의 노름 계산을 통해 노름의 곱이 $14^4 u$로 산출되며, 무한대 기여를 포함한 총 교차 수는 $14^6 u^4$가 되며, 조정 후 $u^8$이 된다.
• 포물형 코homology 및 호모로지 군에 대해 $N_A = 1$과 $N_B = 2$를 계산하여 $N = 2$를 도출하였으며, 이는 최종적으로 Green 함수의 정규화에 사용된다.