[논문 리뷰] Higher Hochschild homology and exponential functors

Geoffrey Powell, Christine Vespa|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 40인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 체 위의 자유군 위의 외부 함수수학적 구조를 다루며, 제곱이 0인 확장에서 원의 와이어드 합성체의 고차 호크실드 호몰로지에 대해 연구한다. 외부 함수수학적 구조의 범주를 도입하고, 지수 함수수학적 구조와 슈어 함수수학적 구조를 사용하여 호몰로지를 명시적으로 계산하며, 자기동형사상의 작용이 외부 자기동형사상을 통해 인수화됨을 보이고, 대칭 및 외적 힘의 형태로 정확한 분해를 도출한다.

ABSTRACT

We study higher Hochschild homology evaluated on wedges of circles, viewed as a functor on the category of free groups. The main results use coefficients arising from square-zero extensions; this is motivated by work of Turchin and Willwacher in relation to hairy graph cohomology. The functorial point of view allows us to exploit tools such as the theory of polynomial functors and exponential functors. We also introduce and make essential use of the category of outer functors, the full subcategory of functors on free groups on which inner automorphisms act trivially. We give a description of higher Hochschild homology in terms of intrinsically defined polynomial outer functors; we also obtain several explicit computations of these outer functors, working over a field of characteristic zero. In particular, higher Hochschild homology gives a natural source of non-trivial polynomial outer functors.

연구 동기 및 목표

• 자유군 위의 유한 개 원의 와이어드 합성체의 고차 호크실드 호몰로지를 함수수학적 구조로 이해하기.
• 자기동형사상 군이 이 호몰로지에 작용하는 방식을 분석하고, 이 작용이 외부 자기동형사상을 통해 인수화됨을 보여주기.
• 제곱이 0인 확장에서의 호몰로지 계산을 위한 외부 함수수학적 구조와 지수 함수수학적 구조를 사용한 프레임워크 개발하기.
• 터친과 윌러처의 털난 그래프 호몰로지 결과를 특성 0에서의 명시적 계산을 통해 일반화하기.
• 고차 호크실드 호몰로지와 다항식 함수수학적 구조 사이의 연결 고리 설정하기. 이는 외부 함수수학적 구조의 포함에 대한 오른쪽 수반 함수수학적 구조를 통해 이루어진다.

제안 방법

• 내부 자기동형사상이 자명하게 작용하는 자유군 위의 함수수학적 구조의 전체 부분범주로서 외부 함수수학적 구조의 범주를 도입한다.
• 외부 함수수학적 구조의 포함에 대한 오른쪽 수반 함수수학적 구조 ω를 사용하며, 이는 고차 호크실드 호몰로지의 본질적 구조를 포착한다.
• 특히 텐서 코알제브라 구조를 사용하여 원의 와이어드 합성체의 호몰로지를 모델링하기 위해 지수 함수수학적 구조를 적용한다.
• 특성 0에서 카우치 항등식을 사용하여 텐서곱의 대칭 및 외적 힘을 분해한다.
• 슈어 함수수학적 구조와 대칭군의 표현 이론을 활용하여 호몰로지를 기약 표현의 형태로 계산한다.
• 이중 수체를 포함하는 계수의 짧은 정확수열에 관련된 고차 호크실드 호몰로지의 장정확수열을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱이 0인 확장에서의 계수를 가진 r개 원의 와이어드 합성체의 고차 호크실드 호몰로지는 자유군 위의 함수수학적 구조로서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 자유군의 자기동형사상 군은 고차 호크실드 호몰로지에 어떻게 작용하며, 이 작용은 외부 자기동형사상을 통해 인수화되는가?
• RQ3 특성 0인 체 위에서 L(𝕜[ε], 𝕜[ε])를 계수로 사용할 때, 고차 호크실드 호몰로지의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ4 지수 함수수학적 구조와 슈어 함수수학적 구조는 고차 호크실드 호몰로지 군을 어떻게 계산하고 분해하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 외부 함수수학적 구조의 범주는 고차 호크실드 호몰로지의 계산을 조직하고 단순화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 계수 L(𝕜[ε], 𝕜[ε])를 가진 고차 호크실드 호몰로지는 𝕜의 차수 1에서의 텐서 코알제브라에 대해 Ψ𝕋̇_coalg†(𝕜)를 적용한 지수 함수수학적 구조와 동형이다.
• Aut(ℤ⋆r)의 작용은 HH*(Bℤ⋆r; L)에서 Out(ℤ⋆r)를 통해 인수화되며, 이는 외부 함수수학적 구조의 범주 도입의 정당성을 뒷받침한다.
• 계수 L(𝕜[ε], 𝕜[ε]]인 경우, 호몰로지는 분할에 대응하는 슈어 함수수학적 구조의 직합으로 분해되며, 표준 표기의 주요 지표를 통한 명시적 다중도 공식이 존재한다.
• 특성 0에서 카우치 항등식을 사용하여 대칭 및 외적 힘의 형태로 호몰로지 군을 명시적으로 계산한다.
• 리 모듈러 분해에 따르면, Sλ는 Lie(n)에 포함되어 있음을 보여주며, 이는 λ가 s≥2인 (s), t≥3인 (1t), 또는 (2²), (2³)가 아닐 때에만 성립한다.
• Sλ가 Lie(n)에 포함되는 다중도는 주어진 형상 λ의 표준 표기에서 주요 지표가 i mod n 과 동치인 표준 표기의 수와 같다. 여기서 (i,n)=1이다.