[논문 리뷰] Higher-order derivative of intersection local time for two independent fractional Brownian motions

Jingjun Guo, Yaozhong Hu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 독립적인 $d$-차원 분수 브라운 운동($H_1$, $H_2$)의 교차 로컬 타임의 $k$-번째 도함수의 존재성과 지수 적분 가능성에 대해 날카운 충분 및 必要 조건을 확립한다. 매끄럽게 처리된 디랙 델타 근사와 푸리에 분석 및 감마 함수의 경계를 통한 모멘트 추정을 사용하여, $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$일 때, $k$-번째 도함수가 모든 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $L^p$ 에서 존재하고, 지수 적분 가능성은 지수 $\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$ 에서 성립함을 증명한다. 이 조건은 $k_i$ 가 짝수일 경우 도함수 존재성에 대해 필수 조건임이 입증된다.

ABSTRACT

In this article, we obtain sharp conditions for the existence of the high order derivatives ($k$-th order) of intersection local time $ \widehatα^{(k)}(0)$ of two independent d-dimensional fractional Brownian motions $B^{H_1}_t$ and $\widetilde{B}^{H_2}_s$ with Hurst parameters $H_1$ and $H_2$, respectively. We also study their exponential integrability.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 독립적인 $d$-차원 분수 브라운 운동의 교차 로컬 타임의 $k$-번째 도함수가 모든 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $L^p$ 에서 존재할 수 있는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 교차 로컬 타임의 $k$-번째 도함수의 지수 적분 가능성 조건을 확립하고, $\mathbb{E}[\exp(C|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)] < \infty$ 가 성립하는 날카운 지수 $\beta$ 를 특정하는 것.
• 조건 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 이 도함수 존재성에 대해 충분할 뿐 아니라, 특히 $k_i$ 가 짝수 정수일 경우 필수 조건임을 증명하는 것.
• 같은 허스트 매개수를 가진 경우에 대한 기존의 자기교차 로컬 타임 및 그 도함수 결과를 서로 다른 허스트 매개수를 가진 두 개의 독립적인 분수 브라운 운동의 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 교차 로컬 타임의 $k$-번째 도함수는 $f_\varepsilon^{(k)}(x)$ 로 표현되는 매끄러운 디랙 델타 함수의 근사화를 통해 정의되며, 이는 $p^k e^{ipx} e^{-\varepsilon|p|^2/2}$ 를 포함하는 푸리에 적분 형태로 표현된다.
• 모든 $\varepsilon \downarrow 0$ 에 대해 $\widehat{\alpha}^{(k)}_\varepsilon(0)$ 의 $L^2$ 수렴을 증명함으로써 $\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$ 이 $L^2$ 에서 존재함을 확립한다.
• 차이 $B^{H_1}_t - \widetilde{B}^{H_2}_s$ 의 특성 함수를 이용하여 $\mathbb{E}[|\widehat{\alpha}^{(k)}_\varepsilon(0)|^n]$ 의 모멘트 추정을 유도하며, 감마 함수 경계와 거듭제곱 감쇠를 포함하는 경계를 도출한다.
• 차이 과정의 특성 함수를 계산하기 위해 항등식 $\mathbb{E}[e^{i\langle \xi, B^{H_1}_t - \widetilde{B}^{H_2}_s \rangle}] = \exp\left(-\frac{1}{2}(t^{2H_1} + s^{2H_2})|\xi|^2\right)$ 을 활용한다.
• 적분 $\int_0^T \int_0^T (t^{2H_1} + s^{2H_2})^{-(k+d)/2} dtds$ 에서 변수 변경과 극좌표를 사용하여 수렴성을 분석함으로써, $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 이 성립하지 않을 경우 적분이 발산함을 밝혀낸다.
• 스티르링의 근사와 함께 모멘트 생성 함수를 경계함으로써 지수 적분 가능성을 확립하고, $\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$ 일 때 시리즈 $\sum_n C^n (n!)^{\beta(2-2\kappa_1)-1}$ 의 수렴성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 독립적인 $d$-차원 분수 브라운 운동의 교차 로컬 타임의 $k$-번째 도함수가 모든 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $L^p$ 에서 존재할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 지수 모멘트 $\mathbb{E}[\exp(C|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)]$ 가 유한해지는 날카운 지수 $\beta$ 는 무엇인가?
• RQ3 $k_i$ 가 짝수 정수일 경우, $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 조건이 $\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$ 의 존재성에 필수적인가?
• RQ4 허스트 매개수 $H_1$ 과 $H_2$ 가 다를 경우, 도함수의 존재성과 적분 가능성은 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 교차 로컬 타임의 $k$-번째 도함수 $\widehat{\alpha}^{(k)}(0)$ 이 모든 $p \in [1,\infty)$ 에 대해 $L^p(\Omega)$ 에서 존재하는 것은 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 이며, 이 조건은 특정 조건 하에서 충분하고 필수이다.
• 지수 적분 가능성은 지수 $\beta = \frac{H_1+H_2}{2dH_1H_2}$ 에서 성립하며, 이는 $\mathbb{E}[\exp(C_{d,k,T}|\widehat{\alpha}^{(k)}(0)|^\beta)] < \infty$ 를 만족함을 의미하며, 강한 尾 꼬리 감쇠를 보여준다.
• 특히 $H_1 = H_2 = \frac{1}{2}$ 일 경우, 지수 적분 가능성 지수는 $\beta = \frac{2}{d}$ 로 감소하며, 이는 이전 문헌에서 알려진 결과를 복원한다.
• $k = 0$ 인 경우 조건은 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}d < 1$ 으로 단순화되며, 이는 $H_1 = H_2 = H$ 일 때 $Hd < 2$ 라는 기존 조건을 일반화한 것으로, Nualart 등 [8] 에서의 결과를 확장한다.
• 특히 $k = (k_i, 0, \dots, 0)$ 이고 $k_i$ 가 짝수일 경우, 조건 $\frac{H_1H_2}{H_1+H_2}(|k|+d) < 1$ 이 필수임을 증명하기 위해, 조건이 실패할 경우 적분 $\int_0^T \int_0^T (t^{2H_1} + s^{2H_2})^{-(k+d)/2} dtds$ 의 발산을 분석한다.
• 극좌표와 변수 변경 $t = u^{H_2/H_1}$ 을 사용하여 적분을 반경 방향 형태로 줄이며, 수렴성은 $r$ 의 지수가 $-1$ 보다 크다는 것에 의해 결정되며, 이는 $\frac{H_2}{H_1} - (k+d)H_2 > -1$ 이 되고, 이는 주요 조건과 동치임을 보여준다.