[논문 리뷰] Higher order generalized geometric polynomials

Levent Kargın, Bayram Çekım|DergiPark (Istanbul University)|2016. 12. 23.

Advanced Mathematical Identities인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 멜린 미분 연산자를 사용하여 고차수 일반화된 기하 다항식을 도입하고, 열림형 베르누이 및 오일러 다항식과의 연결 고리를 설정한다. 칼리츠와 호워드의 유한 합에 대한 새로운 닫힌 형태 평가를 유도하며, 리만 제타 함수를 포함하는 멱급수를 평가한다. 특히 다음 항등식이 성립한다: $\sum_{k=2}^\infty\frac{\zeta(k)k^n}{2^k} = \log 2 + \sum_{k=1}^n\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{k+1}k!(1-2^{-k-1})\zeta(k+1)$.

ABSTRACT

According to generalized Mellin derivative (Kargin), we introduce a new family of polynomials called higher order generalized geometric polynomials. We obtain some properties of them.We discuss their connections to degenerate Bernoulli and Euler polynomials. Furthermore, we find new formulas for the Carlitz's (Carlitz) and Howard's (Howard2) finite sums. Finally, we evaluate several series in closed forms, one of which has the coefficients include values of the Riemann zeta function. Moreover, we calculate some integrals in terms of generalized geometric polynomials.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 멜린 미분 연산자를 사용하여 새로운 다항식 계열인 고차수 일반화된 기하 다항식을 정의하고 연구한다.
• 이 다항식과 열림형 베르누이 및 오일러 다항식 간의 연결 고리를 설정한다.
• 칼리츠와 호워드의 유한 합에 대한 새로운 닫힌 형태 표현식을 도출한다.
• 계수에 리만 제타 함수가 포함된 멱급수의 닫힌 형태 평가를 수행한다.
• 다항식의 적분 표현을 유도하고 멜린 변환 기법을 활용하여 관련 적분을 평가한다.

제안 방법

• 논문은 다항식 $w_n^{(s+1)}(x;\alpha,\beta,r)$를 정의하기 위해 일반화된 멜린 미분 연산자 $\left(\beta x^{1-\alpha/\beta}D\right)^n$를 사용한다.
• 다항식의 재귀 관계와 생성함수를 도출하기 위해 생성함수와 일반화된 스틸링 수 $S_1(n,k;\alpha,\beta,r)$ 및 $S_2(n,k;\alpha,\beta,r)$를 활용한다.
• 지수형 생성함수, 예를 들어 $x^{r/\beta}e^{xt}$에 일반화된 멜린 미분을 적용하여 다항식 항등식을 도출한다.
• 메린-바른스 적분과 감마 함수를 통해 적분 표현을 유도하며, 특히 역 메린 변환을 활용한다.
• 특히 $\alpha \to 0$의 극한에서 알려진 리만 및 히우츠 제타 함수의 적분 표현을 활용한다.
• 유리형 및 지수형 생성함수에 일반화된 미분을 적용하여 급수와 적분을 닫힌 형태로 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 멜린 미분은 특수함수와의 연결 고리를 지닌 새로운 다항식 계열을 정의하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ2 계수에 리만 제타 함수가 포함된 멱급수의 닫힌 형태 평가는 무엇인가?
• RQ3 새로운 다항식 계열을 활용하여 칼리츠와 호워드의 유한 합에 대한 새로운 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 고차수 일반화된 기하 다항식은 열림형 베르누이 및 오일러 다항식과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 멜린 변환 기법을 통해 이 다항식에 대한 적분 표현을 어떻게 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 급수 $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta(k)k^n}{2^k} = \log 2 + \sum_{k=1}^{n}\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n+1}{k+1}k!(1-2^{-k-1})\zeta(k+1)$에 대한 닫힌 형태 평가를 도출하였으며, 모든 정수 $n \geq 0$ 에 대해 성립한다.
• 메린-바른스 적분을 사용하여 일반화된 기하 다항식에 대한 새로운 적분 표현을 설정한다: $\frac{1}{(1+x)^{s+1}}w_n^{(s+1)}\left(\frac{-x}{1+x};\alpha,\beta,r\right) = \frac{1}{2\pi i\Gamma(s+1)}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} (r - \beta t|\alpha)_n x^{-t} \Gamma(t) \Gamma(s+1-t) dt$.
• 한편 $\alpha \to 0$의 극한에서 일반화된 기하 다항식은 $w_n(x;0,\beta,r) = \sum_{k=0}^n W_{\beta,r}(n,k) \beta^k k! x^k$로 간소화되며, 이는 $r$-위트니 수와 연결된다.
• 논문은 $\frac{e^{-rx}}{1-e^{-\beta x}}w_n\left(\frac{e^{-\beta x}}{1-e^{-\beta x}};0,\beta,r\right) = \frac{\beta^n}{2\pi i}\int_{a-i\infty}^{a+i\infty} (\beta x)^{-t} \zeta(t-n, \frac{r}{\beta}) \Gamma(t) dt$ 를 증명하여 기존의 역 메린 변환을 일반화한다.
• 이 방법은 감마 함수와 제타 함수를 포함하는 적분을 성공적으로 평가하여 이전 연구들(예: [7, Proposition 16])의 결과를 확장한다.
• 일반화된 다항식 프레임워크를 통해 열림형 베르누이 및 오일러 다항식과의 연결 고리를 명시적인 공식을 통해 정립한다.