[논문 리뷰] Higher-Order Lagrangian Formalism on Grassmann Manifolds

D. R. Grigore|ArXiv.org|1997. 09. 01.

Dynamics and Control of Mechanical Systems참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비-피브레이팅 구성 공간을 위한 그라스만 만델라 위에서 고차수 라그랑지안 형식을 개발하며, 라그랑지안, 오일러-라그랑주, 헬름홀츠-소닌 형식의 동차 및 비동차 형태를 도입한다. 변분적 자명성과 국소 변분성 조건이 피브레이팅 케이스와 동일한 일반적 구조를 유지함을 보이며, 미분군 몫 구조를 통해 고전적 장 이론 형식을 일반 기하학적 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The Lagrangian formalism on a arbitrary non-fibrating manifold is considered. The kinematical description of this generic situation is based on the concept of (higher-order) Grassmann manifolds which is the factorization of the regular velocity manifold to the action of the differential group. Here we introduce in this context the basic concepts of the Lagrangian formalism as Lagrange, Euler-Lagrange and Helmholtz-Sonin forms. These objects come in pairs, namely we have homogeneous objects (defined on the regular velocity manifold) and non-homogeneous objects (defined on the Grassmann manifold). We will establish the connection between the homogeneous objects and their non-homogeneous counterparts. As a result we will conclude that the generic expressions for a variationally trivial Lagrangian and for a locally variational differential equation remain the same as in the fibrating case.

연구 동기 및 목표

• 표준 형식이 실패하는 피브레이팅 다양체를 초월해 고차수 라그랑지안 형식을 일반화하기 위해.
• 임의의 비-피브레이팅 구성 공간에서 기계 시스템의 운동학적 기술을 다루기 위해.
• 일반 속도 다양체와 그 몫인 그라스만 다양체를 기반으로 라그랑지안, 오일러-라그랑주, 헬름홀츠-소닌 형식을 정의하기 위해.
• 일반 형식(속도 다양체에서 정의)과 비동차 형식(그라스만 다양체에서 정의) 간의 대응 관계를 수립하기 위해.
• 변분적으로 자명한 라그랑지안과 국소적으로 변분적인 미분방정식의 일반적 형태가 피브레이팅 케이스와 동일하게 유지됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 미분군의 작용에 의한 정규 속도 다양체의 몫으로서 고차수 그라스만 다양체의 개념을 활용한다.
• 정규 속도 다양체에서 정의된 동차 라그랑지안 형식과 그라스만 다양체에서 정의된 비동차 형식을 도입한다.
• 변분 원리를 통해 동차 및 비동차 설정 모두에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도한다.
• 비-피브레이팅 맥락에서 국소 변분성을 특징짓기 위해 헬름홀츠-소닌 형식을 구성한다.
• 모든 기본 라그랑지안 대상에 대한 동차 및 비동차 형태 간의 정확한 대응 관계를 수립한다.
• 기하학적 일반화 하에 변분 조건의 구조적 불변성을 분석하기 위해 형식을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차수 라그랑지안 형식은 어떻게 비-피브레이팅 구성 다양체로 일관적으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 정규 속도 다양체에서 정의된 라그랑지안 대상과 그에 대응하는 그라스만 다양체에서의 대상 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 비-피브레이팅 케이스에서 라그랑지안이 변분적으로 자명한 조건이 피브레이팅 케이스와 동일한 구조를 유지하는가?
• RQ4 고차수 시스템에 대해 그라스만 다양체에서 오일러-라그랑주 및 헬름홀츠-소닌 형식을 일관적으로 정의할 수 있는가?
• RQ5 피브레이션 없이도 변분 조건의 불변성을 뒷받침하는 기하학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 비-피브레이팅 케이스에서 변분적으로 자명한 라그랑지안의 일반적 형태는 피브레이팅 케이스와 동일하게 유지된다.
• 미분방정식이 국소적으로 변분적일 조건은 피브레이팅 설정과 동일한 구조적 표현을 유지한다.
• 동차 및 비동차 형식 간의 대응 관계가 완전히 특징지어지며, 미분군에 의한 몫화 과정 동안 변분 구조가 유지된다.
• 그라스만 다양체에서의 오일러-라그랑주 및 헬름홀츠-소닌 형식은 잘 정의되어 있으며, 그에 대응하는 동차 형식과 정확히 일치한다.
• 이 형식은 변분 구조를 잃지 않고 임의의 비-피브레이팅 다양체로 고차수 라그랑지안 역학을 성공적으로 일반화한다.
• 결과적으로 고전적 장 이론의 기본 변분 원리가 피브레이션을 초월한 기하학적 일반화에 대해 강건함을 확인한다.